Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Неравенство Птолемея


Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.

Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея.

Формулировка

Для любых точек A , B , C , D {displaystyle A,B,C,D} плоскости выполнено неравенство

A C ⋅ B D ≤ A B ⋅ C D + B C ⋅ A D , {displaystyle ACcdot BDleq ABcdot CD+BCcdot AD,}

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда A B C D {displaystyle ABCD} — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки A , B , C , D {displaystyle A,B,C,D} лежат на одной прямой.

Замечания

  • Случай равенства также называется тождеством Птолемея.

О доказательствах

  • Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке A {displaystyle A} ; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек B {displaystyle B} , C {displaystyle C} , D {displaystyle D} .
  • Существует способ доказательства через прямую Симсона.
  • Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку E {displaystyle E} такую, что ∠ A B E = ∠ D B C {displaystyle angle ABE=angle DBC} , а потом через подобие треугольников.
  • Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Следствия

  • Теорема Помпею. Рассмотрим точку X {displaystyle X} и правильный треугольник A B C {displaystyle ABC} . Тогда из отрезков X A {displaystyle XA} , X B {displaystyle XB} и X C {displaystyle XC} можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X {displaystyle X} лежит на описанной окружности треугольника A B C {displaystyle ABC} .
  • Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.
  • Формула Карно

Вариации и обобщения

  • Соотношение Бретшнайдера
  • Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если A 1 , A 2 , … A 6 {displaystyle A_{1},A_{2},dots A_{6}} произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)), то
A 1 A 4 ⋅ A 2 A 5 ⋅ A 3 A 6 ≤ A 1 A 2 ⋅ A 3 A 6 ⋅ A 4 A 5 + A 1 A 2 ⋅ A 3 A 4 ⋅ A 5 A 6 + {displaystyle A_{1}A_{4}cdot A_{2}A_{5}cdot A_{3}A_{6}leq A_{1}A_{2}cdot A_{3}A_{6}cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}cdot A_{3}A_{4}cdot A_{5}A_{6}+} + A 2 A 3 ⋅ A 1 A 4 ⋅ A 5 A 6 + A 2 A 3 ⋅ A 4 A 5 ⋅ A 1 A 6 + A 3 A 4 ⋅ A 2 A 5 ⋅ A 1 A 6 , {displaystyle +A_{2}A_{3}cdot A_{1}A_{4}cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}cdot A_{4}A_{5}cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}cdot A_{2}A_{5}cdot A_{1}A_{6},} причем равенство достигается тогда и только тогда, когда A 1 … A 6 {displaystyle A_{1}dots A_{6}} — вписанный шестиугольник.
  • Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности α , β , γ {displaystyle alpha ,eta ,gamma } и δ {displaystyle delta } , касающиеся данной окружности в вершинах A , B , C {displaystyle A,B,C} и D {displaystyle D} выпуклого четырёхугольника A B C D {displaystyle ABCD} . Пусть t α β {displaystyle t_{alpha eta }} — длина общей касательной к окружностям α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); t β γ , t γ δ {displaystyle t_{eta gamma },t_{gamma delta }} и т. д. определяются аналогично. Тогда
t α β t γ δ + t β γ t δ α = t α γ t β δ {displaystyle t_{alpha eta }t_{gamma delta }+t_{eta gamma }t_{delta alpha }=t_{alpha gamma }t_{eta delta }} .
  • Граф Птолемея (см. рис.),

(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: