Неравенство Птолемея
Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.
Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея.
Формулировка
Для любых точек A , B , C , D {displaystyle A,B,C,D} плоскости выполнено неравенство
A C ⋅ B D ≤ A B ⋅ C D + B C ⋅ A D , {displaystyle ACcdot BDleq ABcdot CD+BCcdot AD,}причём равенство достигается тогда и только тогда, когда A B C D {displaystyle ABCD} — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки A , B , C , D {displaystyle A,B,C,D} лежат на одной прямой.
Замечания
- Случай равенства также называется тождеством Птолемея.
О доказательствах
- Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке A {displaystyle A} ; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек B {displaystyle B} , C {displaystyle C} , D {displaystyle D} .
- Существует способ доказательства через прямую Симсона.
- Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку E {displaystyle E} такую, что ∠ A B E = ∠ D B C {displaystyle angle ABE=angle DBC} , а потом через подобие треугольников.
- Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера.
Следствия
- Теорема Помпею. Рассмотрим точку X {displaystyle X} и правильный треугольник A B C {displaystyle ABC} . Тогда из отрезков X A {displaystyle XA} , X B {displaystyle XB} и X C {displaystyle XC} можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X {displaystyle X} лежит на описанной окружности треугольника A B C {displaystyle ABC} .
- Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.
- Формула Карно
Вариации и обобщения
- Соотношение Бретшнайдера
- Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если A 1 , A 2 , … A 6 {displaystyle A_{1},A_{2},dots A_{6}} произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)), то
- Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности α , β , γ {displaystyle alpha ,eta ,gamma } и δ {displaystyle delta } , касающиеся данной окружности в вершинах A , B , C {displaystyle A,B,C} и D {displaystyle D} выпуклого четырёхугольника A B C D {displaystyle ABCD} . Пусть t α β {displaystyle t_{alpha eta }} — длина общей касательной к окружностям α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); t β γ , t γ δ {displaystyle t_{eta gamma },t_{gamma delta }} и т. д. определяются аналогично. Тогда
- Граф Птолемея (см. рис.),
(голосов:0)
Пожожие новости
Комментарии