Лагранжева система

В математике, лагранжевой системой называется пара ( Y , L ) {displaystyle (Y,L)} гладкого расслоения Y → X {displaystyle Y o X} и лагранжевой плотности L {displaystyle L} , которая определяет дифференциальный оператор Эйлера — Лагранжа, действующий на сечения расслоения Y → X {displaystyle Y o X} .

В классической механике, многие динамические системы являются лагранжевыми. Конфигурационным пространством такой лагранжевой системы служит расслоение Q → R {displaystyle Q o mathbb {R} } над осью времени R {displaystyle mathbb {R} } (в частности, Q = R × M {displaystyle Q=mathbb {R} imes M} , если система отсчёта фиксирована). В классической теории поля, все полевые системы являются лагранжевыми.

Лагранжева плотность L {displaystyle L} (или просто лагранжиан) порядка r {displaystyle r} определяется как n {displaystyle n} -форма, n = {displaystyle n=} dim X {displaystyle X} , на многообразии струй J r Y {displaystyle J^{r}Y} порядка r {displaystyle r} сечений расслоения Y {displaystyle Y} . Лагранжиан L {displaystyle L} может быть введён как элемент вариационного бикомплекса дифференциальной градуированной алгебры O ∞ ∗ ( Y ) {displaystyle O_{infty }^{*}(Y)} внешних форм на многообразиях струй расслоения Y → X {displaystyle Y o X} . Оператор кограницы этого бикомплекса содержит вариационный оператор δ {displaystyle delta } , который, действуя на L {displaystyle L} , определяет ассоциированный оператор Эйлера — Лагранжа δ L {displaystyle delta L} . Относительно координат ( x λ , y i ) {displaystyle (x^{lambda },y^{i})} на расслоении Y {displaystyle Y} и соответствующих координат ( x λ , y i , y Λ i ) {displaystyle (x^{lambda },y^{i},y_{Lambda }^{i})} ( Λ = ( λ 1 , … , λ k ) {displaystyle Lambda =(lambda _{1},ldots ,lambda _{k})} , | Λ | = k ≤ r {displaystyle |Lambda |=kleq r} ) на многообразии струй J r Y {displaystyle J^{r}Y} лагранжиан L {displaystyle L} и оператор Эйлера — Лагранжа имеют вид:

L = L ( x λ , y i , y Λ i ) d n x , {displaystyle L={mathcal {L}}(x^{lambda },y^{i},y_{Lambda }^{i}),d^{n}x,} δ L = δ i L d y i ∧ d n x , δ i L = ∂ i L + ∑ | Λ | ( − 1 ) | Λ | d Λ ∂ i Λ L , {displaystyle delta L=delta _{i}{mathcal {L}},dy^{i}wedge d^{n}x,qquad delta _{i}{mathcal {L}}=partial _{i}{mathcal {L}}+sum _{|Lambda |}(-1)^{|Lambda |},d_{Lambda },partial _{i}^{Lambda }{mathcal {L}},}

где

d Λ = d λ 1 ⋯ d λ k , d λ = ∂ λ + y λ i ∂ i + ⋯ , {displaystyle d_{Lambda }=d_{lambda _{1}}cdots d_{lambda _{k}},qquad d_{lambda }=partial _{lambda }+y_{lambda }^{i}partial _{i}+cdots ,}

обозначают полные производные. Например, лагранжиан первого порядка и оператор Эйлера — Лагранжа второго порядка принимают форму

L = L ( x λ , y i , y λ i ) d n x , δ i L = ∂ i L − d λ ∂ i λ L . {displaystyle L={mathcal {L}}(x^{lambda },y^{i},y_{lambda }^{i}),d^{n}x,qquad delta _{i}L=partial _{i}{mathcal {L}}-d_{lambda }partial _{i}^{lambda }{mathcal {L}}.}

Ядро оператора Эйлера — Лагранжа задаёт уравнение Эйлера — Лагранжа δ L = 0 {displaystyle delta L=0} .

Когомологии вариационного бикомплекса определяют так называемую вариационную формулу

d L = δ L + d H Θ L , {displaystyle dL=delta L+d_{H}Theta _{L},}

где

d H ϕ = d x λ ∧ d λ ϕ , ϕ ∈ O ∞ ∗ ( Y ) {displaystyle d_{H}phi =dx^{lambda }wedge d_{lambda }phi ,qquad phi in O_{infty }^{*}(Y)}

- полный дифференциал и Θ L {displaystyle Theta _{L}} - эквивалент Лепажа лагранжиана L {displaystyle L} . Первая и вторая теоремы Нётер являются следствиями этой вариационной формулы.

Будучи обобщённым на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс описывает градуированные лагранжевы системы четных и нечётных переменных.

В другом варианте лагранжиан, оператор Эйлера — Лагранжа и уравнения Эйлера — Лагранжа вводятся в рамках вариационного исчисления.