Число Понтрягина

Число Понтрягина ― характеристическое число, определенное для вещественных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения.

Определение

Пусть M есть 4n-мерное гладкое замкнутое многообразие и ω = { k 1 , k 2 , … , k m } {displaystyle omega ={k_{1},k_{2},dots ,k_{m}}} ― разбиение числа n {displaystyle n} , то есть набор натуральных чисел, таких что k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n {displaystyle k_{1}+k_{2}+cdots +k_{m}=n} .

Рациональное число

P ω = p k 1 ∪ p k 2 ∪ ⋯ ∪ p k m ( [ M ] ) {displaystyle P_{omega }=p_{k_{1}}cup p_{k_{2}}cup cdots cup p_{k_{m}}([M])}

называется числом Понтрягина многообразия M по разбиению ω {displaystyle omega } , здесь p i {displaystyle p_{i}} обозначают классы Понтрягина.

Несмотря на то что числа Понтрягина формально определяются для гладких многообразий, по теореме Новикова, они являются топологическими инвариантами.

Свойства

• Теорема Понтрягина. Числа Понтрягина двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий равны. Более того
  • Если все числа Понтрягина и Штифеля — Уитни двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
• Через числа Понтрягина выражаются сигнатура многообразия то есть сигнатура квадратичной формы пересечений, определенной на H n / 2 ( M ) {displaystyle H^{n/2}(M)} , n = d i m M {displaystyle n=dimM} .
• Через числа Понтрягина выражаются спинорный индекс ( A ^ {displaystyle {hat {A}}} -род) замкнутого спинорного многообразия M {displaystyle M} , то есть индекс оператора Дирака на M {displaystyle M} .