Формула Брахмагупты

Формула Брахмагупты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Доказательство

Площадь вписанного в окружность четырехугольника равна сумме площадей △ A B D {displaystyle riangle ABD} и △ B D C {displaystyle riangle BDC}

S = 1 2 a b sin ⁡ A + 1 2 c d sin ⁡ C . {displaystyle S={frac {1}{2}}absin A+{frac {1}{2}}cdsin C.}

Так как A B C D {displaystyle ABCD} является вписанным четырехугольником, то ∠ D A B = 180 ∘ − ∠ D C B . {displaystyle angle DAB=180^{circ }-angle DCB.} Следовательно, sin ⁡ A = sin ⁡ C {displaystyle sin A=sin C} :

S = 1 2 a b sin ⁡ A + 1 2 c d sin ⁡ A {displaystyle S={frac {1}{2}}absin A+{frac {1}{2}}cdsin A} S 2 = 1 4 sin 2 ⁡ A ( a b + c d ) 2 {displaystyle S^{2}={frac {1}{4}}sin ^{2}A(ab+cd)^{2}} 4 S 2 = ( 1 − cos 2 ⁡ A ) ( a b + c d ) 2 {displaystyle 4S^{2}=(1-cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}} 4 S 2 = ( a b + c d ) 2 − cos 2 ⁡ A ( a b + c d ) 2 . {displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.}

Записав теорему косинусов для стороны C B {displaystyle CB} в △ A C B {displaystyle riangle ACB} и △ B D C , {displaystyle riangle BDC,} получаем:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ A = c 2 + d 2 − 2 c d cos ⁡ C . {displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos A=c^{2}+d^{2}-2cdcos C.}

Используем cos ⁡ C = − cos ⁡ A {displaystyle cos C=-cos A} ( A {displaystyle A} и C {displaystyle C} противолежащие), а затем выносим за скобки 2 cos ⁡ A {displaystyle 2cos A} :

2 cos ⁡ A ( a b + c d ) = a 2 + b 2 − c 2 − d 2 . {displaystyle 2cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.}

Подставим полученное в полученную ранее формулу площади:

4 S 2 = ( a b + c d ) 2 − 1 4 ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 {displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}} 16 S 2 = 4 ( a b + c d ) 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 , {displaystyle 16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},}

Применим формулу x 2 − y 2 = ( x + y ) ( x − y ) {displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)} :

( 2 ( a b + c d ) + a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) ( 2 ( a b + c d ) − a 2 − b 2 + c 2 + d 2 ) {displaystyle (2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})} = ( ( a + b ) 2 − ( c − d ) 2 ) ( ( c + d ) 2 − ( a − b ) 2 ) {displaystyle =((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})} = ( a + b + c − d ) ( a + b + d − c ) ( a + c + d − b ) ( b + c + d − a ) . {displaystyle =(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a).}

Так как полупериметр p = a + b + c + d 2 , {displaystyle p={frac {a+b+c+d}{2}},}

16 S 2 = 16 ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) . {displaystyle 16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).}

Извлекая квадратный корень, получаем:

S = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) . {displaystyle S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}

Вариации и обобщения

• Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, d = 0 {displaystyle d=0} ).
• На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом: S = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d cos 2 ⁡ θ , {displaystyle S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos ^{2} heta }},}

где θ {displaystyle heta } есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна θ {displaystyle heta } , то полусумма двух других углов будет 180 ∘ − θ {displaystyle 180^{circ }- heta } , и cos 2 ⁡ ( 180 ∘ − θ ) = cos 2 ⁡ θ . {displaystyle cos ^{2}(180^{circ }- heta )=cos ^{2} heta .} ) Иногда эту более общую формулу записывают так: S = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − 1 4 ( a c + b d + u v ) ( a c + b d − u v ) {displaystyle S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)- extstyle {1 over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}}} где u {displaystyle u} и v {displaystyle v} — длины диагоналей четырёхугольника.

• Если четырёхугольник вписанный, тогда p = a + c = b + d {displaystyle p=a+c=b+d} , и обобщённая формула Брахмагупты даёт S = a b c d sin ⁡ θ {displaystyle S={sqrt {abcd}}sin heta } .

В частности, для вписанно-описанных четырёхугольников S = a b c d {displaystyle S={sqrt {abcd}}} .

• Роббинс доказал, что для любого вписанного многоугольника с n {displaystyle n} сторонами величина ( 4 S ) 2 {displaystyle (4S)^{2}} является корнем некоторого многочлена P {displaystyle P} , коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для n = 5 {displaystyle n=5} и n = 6 {displaystyle n=6} . Другими авторами установлено, что многочлен P {displaystyle P} можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень N = N ( n ) {displaystyle N=N(n)} была равна Δ k {displaystyle Delta _{k}} , если n = 2 k + 1 {displaystyle n=2k+1} и 2 Δ k {displaystyle 2Delta _{k}} , если n = 2 k + 2 {displaystyle n=2k+2} . Здесь Δ k = 2 k + 1 2 ( 2 k k ) − 2 2 k − 1 = ∑ j = 0 k − 1 ( k − j ) ( 2 k + 1 j ) , {displaystyle Delta _{k}={frac {2k+1}{2}}{inom {2k}{k}}-2^{2k-1}=sum _{j=0}^{k-1}(k-j){inom {2k+1}{j}},}

где ( k j ) = k ! j ! ( k − j ) ! {displaystyle { binom {k}{j}}={ frac {k!}{j!(k-j)!}}} — биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем Δ 1 = 1 {displaystyle Delta _{1}=1} , Δ 2 = 7 {displaystyle Delta _{2}=7} , Δ 3 = 38 {displaystyle Delta _{3}=38} , Δ 4 = 187 , … {displaystyle Delta _{4}=187,dots } (последовательность A000531 в OEIS) и N ( 4 ) = 2 {displaystyle N(4)=2} , N ( 5 ) = 7 {displaystyle N(5)=7} , N ( 6 ) = 14 {displaystyle N(6)=14} , N ( 7 ) = 38 , … {displaystyle N(7)=38,dots } (последовательность A107373 в OEIS).

• Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:

− 16 S 2 = a 4 + b 4 + c 4 + d 4 − 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 ) − 8 a b c d {displaystyle -16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2})-8abcd}

• Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что

16 S 2 = − | a b c − d b a − d c c − d a b − d c b a | {displaystyle 16S^{2}=-{egin{vmatrix}a&b&c&-db&a&-d&cc&-d&a&b-d&c&b&aend{vmatrix}}}

• Есть модификация формулы Брахмагупты для геометрии Лобачевского