Вершина кривой
Вершина кривой — точка кривой, в которой первая производная кривизны равна нулю. Как правило, это локальный максимум или минимум кривизны и некоторые авторы определяют вершину как экстремальную точку кривизны, то есть максимум или минимум кривизны. Различие определений проявляется, например, когда вторая производная кривизны равна нулю.
Примеры
Гипербола имеет две вершины по одной на каждой ветке. Эти вершины имеют наименьшее расстояние между двумя точками на гиперболе и лежат на главной оси. На параболе всего одна вершина и она лежит на оси симметрии. У эллипса четыре вершины, две из них лежат на большой оси и две на малой.
На окружности, поскольку она имеет постоянную кривизну, любая точка является вершиной.
Точки перегиба и касания
Вершины — это точки, где кривая имеет касание порядка 3 с соприкасающейся окружностью в этой точке. Обычно точки на кривой имеют с соприкасающейся окружностью касание второго порядка. Эволюта кривой обычно имеет касп, если кривая имеет вершину. Могут случаться и другие особые точки в вершинах большего порядка, в которых порядок соприкосновения с соприкасающейся окружностью больше трёх, хотя обычно кривая не имеет вершин высокого порядка, в семействах кривых две обычные вершины могут слиться в вершину большего порядка, а затем исчезнуть.
Множество симметрии кривой имеет концы в каспах, соответствующих вершинам, а срединная ось, подмножество множества симметрии, также имеет концы в каспах.
Свойства
- Согласно теореме о четырёх вершинах любая замкнутая кривая должна иметь по меньшей мере четыре вершины.
- Если кривая зеркально симметрична, она имеет вершину в точке пересечения оси симметрии с кривой. Таким образом, понятие вершины кривой тесно связано оптическими точками — точками, в которых оптическая ось пересекает поверхность линзы.
