Статистический критерий

Статистический критерий — математическое правило, в соответствии с которым принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с заданным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

Определение

Пусть даны выборка X = ( X 1 , … , X n ) {displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldots ,X_{n})} из неизвестного совместного распределения P X {displaystyle mathbb {P} ^{mathbf {X} }} , и семейство статистических гипотез H 0 , H 1 , … {displaystyle H_{0},H_{1},ldots } . Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

f : X → { H 0 , H 1 , … } {displaystyle f:mathbf {X} o {H_{0},H_{1},ldots }} .

Таким образом, каждой реализации выборки x = ( x 1 , … , x n ) {displaystyle mathbf {x} =(x_{1},ldots ,x_{n})} статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении, породившем данную реализацию.

Виды критериев

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

• Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения: H 0 : a = a 0 {displaystyle H_{0}:quad a=a_{0}} — нулевая гипотеза. H 1 : a > a 0 ( a < a 0 ) {displaystyle H_{1}:quad a>a_{0}quad (a<a_{0})} или a ≠ a 0 {displaystyle a eq a_{0}} — конкурирующая гипотеза.

• Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать как критерии значимости. Критериями согласия являются:

Критерий Пирсона

Критерий Колмогорова

Критерий Андерсона — Дарлинга

Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова

Критерий согласия Купера

Z-тест

Тест Харке — Бера

Критерий Шапиро — Уилка

График нормальности — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.

• Критерии проверки на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт значимости различия их законов распределения (то есть проверки того, подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном анализе для определения наличия зависимостей.

Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

Непараметрические критерии

Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.

• Q-критерий Розенбаума
• U-критерий Манна — Уитни
• Критерий Уилкоксона
• Критерий Пирсона
• Критерий Колмогорова — Смирнова
• Критерий Вальда-Вольфовица

Параметрические критерии

Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака (средние и дисперсии).

• t-критерий Стьюдента
• Критерий Фишера
• Критерий отношения правдоподобия
• Критерий Романовского

Пример статистического критерия

Пусть дана независимая выборка X = ( X 1 , … , X n ) ⊤ {displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldots ,X_{n})^{ op }} из нормального распределения N ( μ , 1 ) ,   i = 1 , … , n {displaystyle {mathcal {N}}(mu ,1), i=1,ldots ,n} (здесь μ {displaystyle mu } — неизвестный параметр). Пусть имеется две простые гипотезы:

H 0 : μ = 0 , H 1 : μ = 1. {displaystyle {egin{matrix}H_{0}:&mu =0,H_{1}:&mu =1.end{matrix}}}

Тогда можно определить следующий статистический критерий:

f ( x 1 , … , x n ) = { H 0 , x ¯ ≤ 0.5 H 1 , x ¯ > 0.5 , {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})=left{{egin{matrix}H_{0},&{ar {x}}leq 0.5H_{1},&{ar {x}}>0.5,end{matrix}} ight.}

где x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i {displaystyle {ar {x}}={frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}x_{i}} — выборочное среднее.