Проективный модуль

Проективный модуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.

Определение

Модуль P {displaystyle P} над кольцом A {displaystyle A} (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), называется проективным, если для всякого гомоморфизма g : P → M {displaystyle gcolon P o M} и эпиморфизма f : N → M {displaystyle fcolon N o M} существует такой гомоморфизм h : P → N {displaystyle hcolon P o N} , что g = f h {displaystyle g=fh} , то есть данная диаграмма коммутативна:

Простейший пример проективного модуля — свободный модуль F {displaystyle F} . В самом деле, пусть x 1 , x 2 , … , x i , … {displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{i},ldots } — элементы базиса модуля F {displaystyle F} и g ( x i ) = y i {displaystyle g(x_{i})=y_{i}} . Поскольку f {displaystyle f} — эпиморфизм, можно найти такие z i {displaystyle z_{i}} , что f ( z i ) = y i {displaystyle f(z_{i})=y_{i}} . Тогда h {displaystyle h} можно определить, задав его значения на векторах базиса как h ( x i ) = z i {displaystyle h(x_{i})=z_{i}} .

Для колец многочленов от нескольких переменных над полем любой проективный модуль является свободным.

В общем случае это не так, хотя легко доказать теорему о том, что модуль P {displaystyle P} проективен тогда и только тогда, когда существует такой модуль K {displaystyle K} , что прямая сумма F = P ⊕ K {displaystyle F=Poplus K} свободна. В самом деле, если P {displaystyle P} есть компонента прямой суммы F {displaystyle F} , которая является свободным модулем, и g : P → M {displaystyle gcolon P o M} — гомоморфизм, то g p 1 : F → M {displaystyle gp_{1}colon F o M} тоже гомоморфизм ( p 1 {displaystyle p_{1}} — проекция прямой суммы F {displaystyle F} на первое слагаемое P {displaystyle P} ), а так как проективность свободных модулей нам известна, то существует гомоморфизм h 1 : F → N {displaystyle h_{1}colon F o N} , такой, что g p 1 = f h 1 {displaystyle gp_{1}=fh_{1}} , отсюда g p 1 i 1 = f h 1 i 1 {displaystyle gp_{1}i_{1}=fh_{1}i_{1}} , где i 1 {displaystyle i_{1}} — гомоморфизм включения P → F {displaystyle P o F} , отсюда

g = f h 1 i 1 : P → M {displaystyle g=fh_{1}i_{1}colon P o M}

Обратно, пусть P {displaystyle P} — проективный модуль. Каждый модуль является гомоморфным образом свободного. Пусть g : F → P {displaystyle gcolon F o P} — соответствующий эпиморфизм. Тогда тождественный изоморфизм i d : P → P {displaystyle idcolon P o P} будет равен i d = g h {displaystyle id=gh} для некоторого h : P → F {displaystyle hcolon P o F} , так как P {displaystyle P} проективен. Любой элемент F {displaystyle F} тогда представим в виде

x = h g ( x ) + ( x − h g ( x ) ) ∈ I m h ⊕ K e r g {displaystyle x=hg(x)+(x-hg(x))in mathrm {Im} ,hoplus mathrm {Ker} ,g} ,

где I m h {displaystyle mathrm {Im} ,h} изоморфно P {displaystyle P} .

Свойства

• P {displaystyle P} проективен тогда и только тогда, когда для любого эпиморфизма f : N → M {displaystyle fcolon N o M} индуцированный гомоморфизм f ∗ : Hom ( P , N ) → Hom ( P , M ) {displaystyle f_{*}colon { ext{Hom}}(P,N) o { ext{Hom}}(P,M)} является эпиморфизмом.
• P {displaystyle P} проективен тогда и только тогда, когда он переводит любую короткую точную последовательность 0 → A → B → C → 0 {displaystyle 0 o A o B o C o 0} в точную последовательность 0 → Hom ( P , A ) → Hom ( P , B ) → Hom ( P , C ) → 0 {displaystyle 0 o { ext{Hom}}(P,A) o { ext{Hom}}(P,B) o { ext{Hom}}(P,C) o 0} .
• Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.