Тензор Дарбу

Компоненты тензора Дарбу Θ {displaystyle Theta } двумерной поверхности F2 с ненулевой гауссовой кривизной K в евклидовом пространстве E3 вычисляются по формулам:

Θ i j m = ∇ m b i j − b i j ∇ m K + b m i ∇ j K + b j m ∇ i K 4 K , i , j , m = 1 , 2 , {displaystyle Theta _{ijm}= abla _{m}b_{ij}-{frac {b_{ij} abla _{m}K+b_{mi} abla _{j}K+b_{jm} abla _{i}K}{4K}},quad i,j,m=1,2,}

где b i j {displaystyle b_{ij}} — коэффициенты второй квадратичной формы, K ≠ 0 {displaystyle K eq 0} — гауссова кривизна, а ∇ m b i j {displaystyle abla _{m}b_{ij}} и ∇ m K {displaystyle abla _{m}K} — их ковариантные производные.

С тензором Дарбу связана кубическая дифференциальная форма

Θ i j m d u i d u j d u m = ∇ m b i j d u i d u j d u m − 3 ∇ m K 4 K b i j d u i d u j d u m . {displaystyle Theta _{ijm}du^{i}du^{j}du^{m}= abla _{m}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}-{frac {3 abla _{m}K}{4K}}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}.}

Эта форма, отнесенная к кривой на поверхности, называется инвариантом Дарбу.

Кривая, в каждой точке которой инвариант Дарбу равен нулю, называется линией Дарбу.

Обобщенный тензор Дарбу гиперповерхности — это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определенный на n-мерной гиперповерхности Fn с ненулевой гауссовой кривизной K в евклидовом пространстве En+1. Компоненты обобщенного тензора Дарбу Θ ( n ) {displaystyle Theta _{(n)}} гиперповерхности вычисляются по формулам:

Θ ( n ) i j m = ∇ m b i j − b i j ∇ m K + b m i ∇ j K + b j m ∇ i K ( n + 2 ) K , i , j , m = 1 , 2 , . . . , n . {displaystyle Theta _{(n)ijm}= abla _{m}b_{ij}-{frac {b_{ij} abla _{m}K+b_{mi} abla _{j}K+b_{jm} abla _{i}K}{(n+2)K}},quad i,j,m=1,2,...,n.}

Гиперповерхность Fn в евклидовом пространстве En+1, на которой определен и тождественно равен нулю обобщенный тензор Дарбу, называется обобщенной гиперповерхностью Дарбу в En+1.