Функция Гамильтона

Эта статья включает описание термина «полная энергия»

Функция Гамильтона, или гамильтониан — функция, зависящая от обобщённых координат, импульсов и, возможно, времени, описывающая динамику механической системы в гамильтоновой формулировке классической механики.

H ( p , q ) , {displaystyle H(p,q),}

или

H ( p , q , t ) , {displaystyle H(p,q,t),} где p = ( p 1 , p 2 , . . . , p n ) {displaystyle p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})} — полный набор обобщённых импульсов, описывающий данную систему ( n {displaystyle n} — число степеней свободы), q = ( q 1 , q 2 , . . . , q n ) {displaystyle q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})} — полный набор обобщённых координат.

В квантовой механике и квантовой теории поля гамильтониан, или оператор Гамильтона, определяющий временную эволюцию системы, соответствует функции Гамильтона в классической физике и является её обобщением, в принципе достаточно прямым, однако в ряде случаев не совсем тривиальным (в принципе квантовый гамильтониан может быть получен просто подстановкой квантовых операторов координат и импульсов в функцию Гамильтона, однако из-за того, что такие операторы не всегда коммутируют, может быть не сразу очевиден выбор правильного варианта из возникающих вследствие этого).

В формализме фейнмановского интеграла по траекториям в квантовой механике и квантовой теории поля используется и просто классическая функция Гамильтона.

Функция Гамильтона участвует в гамильтоновой форме принципа наименьшего (стационарного) действия, канонических уравнениях Гамильтона (одной из возможных форм уравнения движения в классической механике) и уравнении Гамильтона — Якоби, являясь основой гамильтоновой формулировки механики.

Для консервативных систем функция Гамильтона представляет полную энергию (выраженную как функция координат и импульсов), то есть — в классическом смысле — сумму кинетической и потенциальной энергий системы.

Функция Гамильтона связана с лагранжианом через преобразование Лежандра следующим соотношением:

H = p → ⋅ q → ˙ − L , {displaystyle H={vec {p}}cdot {dot {vec {q}}}-L,}

где p → {displaystyle {vec {p}}} — обобщённый импульс частицы, а q → ˙ {displaystyle {dot {vec {q}}}} — её обобщённая скорость.

Физический смысл

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) ω {displaystyle omega } через волновой вектор k {displaystyle mathbf {k} } для каждой точки x {displaystyle mathbf {x} } пространства:

ω = H ( k , x ) . {displaystyle omega =H(mathbf {k} ,mathbf {x} ).}

Так, в классическом приближении (при больших частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от x {displaystyle mathbf {x} } ) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых ( q ˙ i = ∂ H / ∂ p i ) {displaystyle ({dot {q}}_{i}=partial H/partial p_{i})} интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие ( p ˙ i = − ∂ H / ∂ q i ) {displaystyle ({dot {p}}_{i}=-partial H/partial q_{i})} вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.