Эйлерово частично упорядоченное множество

В комбинаторике эйлерово частично упорядоченное множество — это градуированное частично упорядоченное множество, в котором любой нетривиальный интервал имеет одно и то же число элементов чётного и нечётного рангов. Эйлерово частично упорядоченное множество, являющееся решёткой, называется эйлеровой решёткой. Объекты названы именем Леонарда Эйлера. Эйлеровы решётки обобщают решётки граней выпуклых многогранников и многие современные исследования посвящены расширению известных результатов комбинаторики многогранников, таких как различные ограничения на f-векторы выпуклых симплициальных многогранников, на это более общие случаи.

Примеры

• Решётка граней выпуклого многогранника, состоящая из его граней, вместе с наименьшим элементом, пустой гранью, и наибольшим элементом, самим многогранником, является эйлеровой решёткой. Условие чётности/нечётности вытекает из формулы Эйлера.
• Любая симплициальная сфера обобщённой гомологии является эйлеровой решёткой.
• Пусть L — правильный клеточный комплекс, такой, что |L| является многообразием с теми же эйлеровыми характеристиками, что и гиперсфера той же размерности (условие бессмысленно, если размерность нечётна). Тогда частично упорядоченное множество ячеек L с порядком, определяемым включением их замыканий, является эйлеровым.
• Пусть W — группа Коксетера с порядком Брюа. Тогда (W,≤) является эйлеровым частично упорядоченным множеством.

Свойства

• Условия в определении эйлерового частичного упорядоченного множества P могут быть эквивалентно выражены в терминах функции Мёбиуса:

μ P ( x , y ) = ( − 1 ) | y | − | x | {displaystyle mu _{P}(x,y)=(-1)^{|y|-|x|}} для всех x ≤ y . {displaystyle xleq y.}

• Двойственное эйлерово частично упорядоченное множество, пoлученное обращением частичного порядка, является эйлеровым.
• Ричрд Стэнли ввёл понятие торического h-вектора ранжированного частично упорядоченного множества, которое обобщает 'h'-вектор симплициального многогранника. Он доказал, что уравнения Дена — Сомервиля

h k = h d − k {displaystyle h_{k}=h_{d-k},} выполняются для произвольных эйлеровых частично упорядоченных множеств ранга d + 1. Однако для эйлеровых частично упорядоченных множеств, получающихся из правильных комплексов ячеек или выпуклых многогранников, торический h-вектор ни определяет, ни определяется числом ячеек или граней различных размерностей и торический h-вектор не имеет прямой комбинаторной интерпретации.