Статистический риск

Статистический риск - математическое ожидание функции потерь.

Виды статистического риска

В зависимости от способа усреднения выделяют следующие типы статистического риска R(u):

• средний риск или безусловный риск;
• условный риск.

Средний риск

Средний риск — это риск R ( u ) {displaystyle Rleft(u ight)} , определяемый по формуле:

R ( u ) = ∫ U ∫ X C ( u ( Y ) , x ) ⋅ W ( u ( Y ) , x ) d x d Y {displaystyle Rleft(u ight)=int limits _{U}{int limits _{X}{Cleft(uleft(Y ight),x ight)cdot Wleft(uleft(Y ight),x ight)dx}dY}} ,

где

C ( u ( Y ) , x ) {displaystyle Cleft(uleft(Y ight),x ight)} — функция потерь, Y {displaystyle Y} — реализация наблюдаемых данных на интервале времени [ 0 , t ) {displaystyle left[0,t ight)} , u ( ⋅ ) {displaystyle uleft(cdot ight)} — решающее правило или алгоритм обработки реализации наблюдаемых данных Y {displaystyle Y} x {displaystyle x} — вектор информационных параметров, то есть параметров, в которых содержится информация, W ( u ( Y ) , x ) {displaystyle Wleft(uleft(Y ight),x ight)} — совместная плотность вероятности u ( Y ) {displaystyle uleft(Y ight)} и x {displaystyle x} .

Условные риски

Совместная плотность вероятности может быть записана с использованием условной плотности вероятности следующим образом (по формуле Байеса):

W ( u ( Y ) , x ) = W ( x ∣ u ( Y ) ) ⋅ W ( u ( Y ) ) {displaystyle Wleft(uleft(Y ight),x ight)=Wleft(xmid uleft(Y ight) ight)cdot Wleft(uleft(Y ight) ight)} .

Следовательно, средний риск R ( u ) {displaystyle Rleft(u ight)} равен

R ( u ) = ∫ U ∫ X C ( u ( Y ) , x ) ⋅ W ( x ∣ u ( Y ) ) ⋅ W ( u ( Y ) ) d x d Y {displaystyle Rleft(u ight)=int limits _{U}{int limits _{X}{Cleft(uleft(Y ight),x ight)cdot Wleft(xmid uleft(Y ight) ight)cdot Wleft(uleft(Y ight) ight)dx}dY}} ,

где условный риск R p {displaystyle R_{p}} s ( u ) {displaystyle _{s}(u)} , равная

R p {displaystyle R_{p}} s ( u ) {displaystyle _{s}(u)} = ∫ {displaystyle int } С(u(Y),x) W(x | u(Y)) W(u(Y)) dx

называется апостериорным риском.

Условный риск вида

R ( u ) {displaystyle R(u)} = ∫ {displaystyle int } С(u(Y),x) W(u(Y)|x) dx

называется функцией риска.