Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Формула Плюккера

Дата: 16-07-2022, 08:00 » Раздел: Статьи  » 

Формула Плюккера — одна из семейства формул, выведенных немецким математиком и физиком Плюккером в 1830-х годах. Формулы связывают некоторые инварианты алгебраических кривых и инварианты дуальных им кривых. Инвариант, называемый родом и являющийся общим как для кривой, так и для дуальной ей кривой, связан с другими инвариантами похожими формулами. Эти формулы и тот факт, что каждый из этих инвариантов должен быть положительным целым числом, накладывают строгие ограничения на возможные значения инвариантов.

Инварианты Плюккера и базовые уравнения

Кривая в этом контексте задаётся невырожденным алгебраическим уравнением в комплексной проективной плоскости. Прямые в этой плоскости соответствуют точкам дуальной проективной плоскости, а прямые, касательные к данной алгебраической кривой C, соответствуют точкам на алгебраической кривой C*, называемой дуальной кривой. Точки же кривой C соответствуют прямым, касательным к C*, так что дуальной кривой для C* будет C.

Первые два инварианта, участвующие в формулах Плюккера — это степень d кривой C и степень d*, называемая классом кривой C. Геометрически d — это число точек пересечения произвольной прямой и C, включая комплексные точки и бесконечно удалённые точки с учётом кратности. Класс d* — это число касательных к C, проходящих через произвольную точку плоскости. Например, коническое сечение имеет и степень, и класс 2. Если у кривой C нет особых точек, первая формула Плюккера утверждает, что

d ∗ = d ( d − 1 ) , {displaystyle d^{*}=d(d-1),}

но для кривых с особыми точками формулу нужно подправить.

Пусть δ — число обыкновенных двойных точек кривой C, то есть имеющих различные касательные (такие точки называются точками самопересечения) или изолированных, а κ — число каспов, то есть точек, имеющих единственную касательную. Если кривая C имеет особенности более высокой степени, то они рассматриваются как несколько особых точек, согласно анализу природы особенности. Например, обыкновенная тройная точка считается как три двойных точки. Опять же, мнимые точки и точки на бесконечности также учитываются. Уточнённая форма первого равенства Плюккера имеет вид

d ∗ = d ( d − 1 ) − 2 δ − 3 κ . {displaystyle d^{*}=d(d-1)-2delta -3kappa .}

Подобным образом, пусть δ* — число обыкновенных двойных точек, а κ* — число каспов кривой C*. Вторая формула Плюккера утверждает, что

κ ∗ = 3 d ( d − 2 ) − 6 δ − 8 κ . {displaystyle kappa ^{*}=3d(d-2)-6delta -8kappa .}

Геометрически обыкновенная двойная точка кривой C* — прямая, касающаяся кривой в двух точках (бикасательная), а касп кривой C* — точка перегиба.

Первые два уравнения Плюккера имеют двойственные версии:

d = d ∗ ( d ∗ − 1 ) − 2 δ ∗ − 3 κ ∗ , {displaystyle d=d^{*}(d^{*}-1)-2delta ^{*}-3kappa ^{*},} κ = 3 d ∗ ( d ∗ − 2 ) − 6 δ ∗ − 8 κ ∗ . {displaystyle kappa =3d^{*}(d^{*}-2)-6delta ^{*}-8kappa ^{*}.}

Эти четыре равенства, фактически, не являются независимыми, так что любые три могут быть использованы для вывода четвёртого. Если заданы любые три из шести инвариантов d, d*, δ, δ*, κ и κ*, то остальные три можно по ним вычислить.

Наконец, геометрический род кривой C можно определить по формуле

g = 1 2 ( d − 1 ) ( d − 2 ) − δ − κ . {displaystyle g={1 over 2}(d-1)(d-2)-delta -kappa .}

Это равенство эквивалентно двойственному

g = 1 2 ( d ∗ − 1 ) ( d ∗ − 2 ) − δ ∗ − κ ∗ {displaystyle g={1 over 2}(d^{*}-1)(d^{*}-2)-delta ^{*}-kappa ^{*}} .

Всего мы имеем четыре независимых уравнения с семью неизвестными, и при задании трёх неизвестных остальные четыре могут быть вычислены.

Кривые без особых точек

Важный частный случай — когда кривая C не имеет особых точек, то есть δ и κ равны 0, так что оставшиеся инварианты можно вычислить в терминах исключительно d:

d ∗ = d ( d − 1 ) {displaystyle d^{*}=d(d-1)} δ ∗ = 1 2 d ( d − 2 ) ( d − 3 ) ( d + 3 ) {displaystyle delta ^{*}={1 over 2}d(d-2)(d-3)(d+3)} κ ∗ = 3 d ( d − 2 ) {displaystyle kappa ^{*}=3d(d-2)} g = 1 2 ( d − 1 ) ( d − 2 ) . {displaystyle g={1 over 2}(d-1)(d-2).}

Так, например, плоская квартика без особых точек имеет род 3, имеет 28 бикасательных и 24 точки перегиба.

Типы кривых

Кривые классифицируются по типам согласно их инвариантам Плюккера. Уравнения Плюккера вместе с тем ограничением, что инварианты должны быть натуральными числами, сильно ограничивают число возможных типов кривых заданной степени. Проективно эквивалентные кривые должны иметь тот же тип, но кривые одного и того же типа, вообще говоря, не эквивалентны проективно. Кривые степени 2 — конические сечения — имеют единственный тип, задаваемый равенствами d=d*=2, δ=δ*=κ=κ*=g=0.

Для кривых степени 3 возможны три типа с инвариантами

Кривые типов (ii) и (iii) — это рациональные кубические кривые, с обыкновенной двойной точкой и каспом соответственно. Кривые типа (i) не имеют особых точек (эллиптические кривые).

Для кривых степени 4 существует 10 возможных типов с инвариантами


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: