q-производная

Q-производная или производная Джексона — это q-аналог обычной производной, который предложил Франк Хилтон Джексон. Q-производная обратна q-интегрированию Джексона. Другие виды q-производной можно найти в статье К.С. Чанга, В.С Чанга, С.Т. Нама и Х.Дж. Кана.

Определение

Q-производная функции f(x) определяется как

( d d x ) q f ( x ) = f ( q x ) − f ( x ) q x − x . {displaystyle left({frac {d}{dx}} ight)_{q}f(x)={frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}

и часто записывается как D q f ( x ) {displaystyle D_{q}f(x)} . Q-производная известна также как производная Джексона.

Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равносильно оператору

D q = 1 x   q d       d ( ln ⁡ x ) − 1 q − 1   , {displaystyle D_{q}={frac {1}{x}}~{frac {q^{d~~~ over d(ln x)}-1}{q-1}}~,}

который приводит к обычной производной, → d⁄dx при q → 1.

Оператор очевидно линеен,

D q ( f ( x ) + g ( x ) ) = D q f ( x ) + D q g ( x )   . {displaystyle displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}

Q-производная имеет правило для произведения, аналогичное правилу произведения для обычной производной в двух эквивалентных формах

D q ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) D q f ( x ) + f ( q x ) D q g ( x ) = g ( q x ) D q f ( x ) + f ( x ) D q g ( x ) . {displaystyle displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}

Аналогично, q-производная удовлетворяет правилу для деления,

D q ( f ( x ) / g ( x ) ) = g ( x ) D q f ( x ) − f ( x ) D q g ( x ) g ( q x ) g ( x ) , g ( x ) g ( q x ) ≠ 0. {displaystyle displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},quad g(x)g(qx) eq 0.}

Есть также правило, подобное правилу обычного дифференцирования суперпозиции функций. Пусть g ( x ) = c x k {displaystyle g(x)=cx^{k}} . Тогда

D q f ( g ( x ) ) = D q k ( f ) ( g ( x ) ) D q ( g ) ( x ) . {displaystyle displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}

Собственная функция q-производной — это q-показательная функция eq(x).

Связь с обычными производными

Q-дифференцирование напоминает обычное дифференцирование с курьёзными отличиями. Например, q-производная одночлена равна

( d d z ) q z n = 1 − q n 1 − q z n − 1 = [ n ] q z n − 1 {displaystyle left({frac {d}{dz}} ight)_{q}z^{n}={frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}} ,

где [ n ] q {displaystyle [n]_{q}} — q-скобка числа n. Заметим, что lim q → 1 [ n ] q = n {displaystyle lim _{q o 1}[n]_{q}=n} , так что обычная производная возвращается в пределе.

Для функции n-ая q-производная может быть задана как:

( D q n f ) ( 0 ) = f ( n ) ( 0 ) n ! ( q ; q ) n ( 1 − q ) n = f ( n ) ( 0 ) n ! [ n ] q ! {displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!}

при условии, что обычная n-ая производная функции f существует в x = 0. Здесь ( q ; q ) n {displaystyle (q;q)_{n}} — q-символ Похгаммера, а [ n ] q ! {displaystyle [n]_{q}!} — q-факториал. Если функция f ( x ) {displaystyle f(x)} аналитическая, мы можем использовать формулу Тейлора для определения D q ( f ( x ) ) {displaystyle D_{q}(f(x))}

D q ( f ( x ) ) = ∑ k = 0 ∞ ( q − 1 ) k ( k + 1 ) ! x k f ( k + 1 ) ( x ) . {displaystyle displaystyle D_{q}(f(x))=sum _{k=0}^{infty }{frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}

Q-аналог разложения Тейлора функции около нуля:

f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) z n n ! = ∑ n = 0 ∞ ( D q n f ) ( 0 ) z n [ n ] q ! {displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }f^{(n)}(0),{frac {z^{n}}{n!}}=sum _{n=0}^{infty }(D_{q}^{n}f)(0),{frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}}