Характер биквадратичного вычета

Характер биквадратичного вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер биквадратичного вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Рассмотрим D=Z[i] — кольцо целых гауссовых чисел, то есть чисел вида α = a + b i {displaystyle alpha =a+b,i} , где a и b — целые числа.

Пусть π {displaystyle pi } — простое в кольце D, с нормой N π {displaystyle Npi } . Характер биквадратичного вычета определяется следующим образом:

• ( α π ) 4 = 0 {displaystyle left({frac {alpha }{pi }} ight)_{4}=0} , если α {displaystyle alpha } делится на π {displaystyle pi } .
• ( α π ) 4 = 1 {displaystyle left({frac {alpha }{pi }} ight)_{4}=1} , если α {displaystyle alpha } не делится на π {displaystyle pi } и N π = 2 {displaystyle Npi =2} .
• Во всех остальных случаях ( α π ) 4 {displaystyle left({frac {alpha }{pi }} ight)_{4}} — одно из значений { 1 ,   − 1 ,   i ,   − i } {displaystyle {1, -1, i, -i}} , лежащее в классе вычетов α ( N π − 1 ) / 4 mod π {displaystyle alpha ^{(Npi -1)/4}mod pi } (такое значение однозначно определено).

Биквадратичный закон взаимности

Назовём α {displaystyle alpha } , не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала ( ( 1 + i ) 3 ) {displaystyle ((1+i)^{3})} . При этом неединица α = a + b i {displaystyle alpha =a+b,i} примарна тогда и только тогда, когда a ≡ 1 ( mod 4 ) {displaystyle aequiv 1{pmod {4}}} , b ≡ 0 ( mod 4 ) {displaystyle bequiv 0{pmod {4}}} или a ≡ 3 ( mod 4 ) {displaystyle aequiv 3{pmod {4}}} , b ≡ 2 ( mod 4 ) {displaystyle bequiv 2{pmod {4}}} .

Пусть π {displaystyle pi } и θ {displaystyle heta } — взаимно простые примарные элементы в D, тогда

Другие свойства характера биквадратичного вычета

• ( α π ) 4 = 1 {displaystyle left({frac {alpha }{pi }} ight)_{4}=1} тогда и только тогда, когда сравнение x 4 ≡ α mod π {displaystyle x^{4}equiv alpha mod {pi }} разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда α {displaystyle alpha } — биквадратичный вычет
• Мультипликативность: ( α β π ) 4 = ( α π ) 4 ⋅ ( β π ) 4 {displaystyle left({frac {alpha eta }{pi }} ight)_{4}=left({frac {alpha }{pi }} ight)_{4}cdot left({frac {eta }{pi }} ight)_{4}}
• Периодичность: если α ≡ β mod π {displaystyle alpha equiv eta mod {pi }} , то ( α π ) 4 = ( β π ) 4 {displaystyle left({frac {alpha }{pi }} ight)_{4}=left({frac {eta }{pi }} ight)_{4}}
• Если π = a + b i {displaystyle pi =a+bi} — простое примарное, то ( − 1 π ) 4 = ( − 1 ) a − 1 2 {displaystyle left({frac {-1}{pi }} ight)_{4}=(-1)^{frac {a-1}{2}}}

Список литературы

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.