Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Четырнадцатая проблема Гильберта

Дата: 23-03-2022, 08:00 » Раздел: Статьи  » 

Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.

Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример . Им была построена подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена Стейнбергом в его работе 1997 года.

Формулировки

Исходная формулировка Гильберта

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.

<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>

Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций X 1 , . . . , X m {displaystyle X_{1},...,X_{m}} от переменных x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},dots ,x_{n}} :

X 1 = f 1 ( x 1 , … , x n ) X 2 = f 2 ( x 1 , … , x n ) ⋮ X m = f m ( x 1 , … , x n ) } ( S ) {displaystyle left.{egin{array}{c}X_{1}=f_{1}(x_{1},dots ,x_{n})X_{2}=f_{2}(x_{1},dots ,x_{n})vdots X_{m}=f_{m}(x_{1},dots ,x_{n})end{array}} ight}qquad qquad (S)}

Всякая целая рациональная связь между X 1 , … , X m {displaystyle X_{1},dots ,X_{m}} , если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},dots ,x_{n}} . Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от X 1 , … , X m {displaystyle X_{1},dots ,X_{m}} , которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},dots ,x_{n}} . Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от X 1 , … , X m {displaystyle X_{1},dots ,X_{m}} . <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от X 1 , … , X m {displaystyle X_{1},dots ,X_{m}} , через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>

Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры K ⋂ k [ x 1 , … , x n ] {displaystyle Kigcap k[x_{1},dots ,x_{n}]} , где K {displaystyle K} — порождённое X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},dots ,X_{n}} поле. Поскольку всякое промежуточное поле k ⊂ K ⊂ k ( x 1 , … , x n ) {displaystyle ksubset Ksubset k(x_{1},dots ,x_{n})} является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:

Пусть K ⊂ k [ x 1 , … , x n ] {displaystyle Ksubset k[x_{1},dots ,x_{n}]} — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра K ⋂ k [ x 1 , … , x n ] {displaystyle Kigcap k[x_{1},dots ,x_{n}]} конечно порождена?

Конечная порождённость алгебры инвариантов


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: