Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Обратимый элемент

Дата: 18-12-2021, 01:01 » Раздел: Статьи  » 

Обратимый элемент — элемент кольца с единицей, для которого существует обратный элемент относительно умножения. Другое название — делитель единицы.

Иначе говоря, элемент a {displaystyle a} называется обратимым, если существует элемент b {displaystyle b} , такой что

a b = b a = e {displaystyle ab=ba=e} ,

где e {displaystyle e} — единичный элемент кольца.

Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой обратимых элементов (реже группой единиц). Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

Ассоциированные элементы

Если a {displaystyle a} — обратимый элемент, то элементы, представимые в виде a ⋅ x {displaystyle acdot x} или x ⋅ a {displaystyle xcdot a} , называются ассоциированными с x {displaystyle x} .

Обычно термин делитель единицы и понятие ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.

Группа единиц

Обратимые элементы кольца R образуют группу U(R) по умножению, группу единиц кольца R. Другие общепринятые обозначение — R×, R* и E(R) (от немецкого Einheit).

В коммутативном кольце R группа единиц U(R) действует на R посредством умножения. Орбиты этих действий называются множествами ассоциированных элементов; другими словами, имеется отношение эквивалентности ~ на R, называемое ассоциированностью, где

r ~ s

означает, что существует единица u, такая, что r = us.

Можно показать, что U — это функтор из категории колец в категорию групп: каждый гомоморфизм колец f : RS порождает гомоморфизм групп U(f) : U(R) → U(S), поскольку f отображает единицы в единицы.

Кольцо R является телом тогда и только тогда, когда U(R) = R {0}.

Примеры

  • В кольце целых чисел два делителя единицы: +1 и −1.
  • В кольце вычетов по модулю m обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m. Они образуют мультипликативную группу кольца вычетов.
  • В кольце гауссовых целых чисел четыре делителя единицы: + 1 ,   − 1 ,   i ,   − i {displaystyle +1, -1, i, -i} .
  • В кольце многочленов над полем любой ненулевой элемент поля коэффициентов (как многочлен нулевой степени) является делителем единицы.

(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: