Суммирующая функция ряда

Суммирующая функция ряда — функция, которая каждому ряду U {displaystyle U} ставит в соответствие некоторое число s ( U ) {displaystyle s(U)} . Примером суммирующей функции может служить lim n → ∞ ∑ k = 1 n u k {displaystyle lim _{n o infty }sum _{k=1}^{n}u_{k}} . Эта функция определена на множестве всех сходящихся рядов и её значение равно сумме ряда. Так определённую суммирующую функцию называют s 0 {displaystyle s_{0}} . Для удобства использования суммирующие функции должны обладать свойствами регулярности (если U {displaystyle U} - сходящийся ряд, то суммирующая функция s ( U ) {displaystyle s(U)} должна существовать и быть равной s 0 ( U ) {displaystyle s_{0}(U)} ), и линейности (для любых двух рядов U {displaystyle U} и V {displaystyle V} и чисел a {displaystyle a} и b {displaystyle b} из существования значений s ( U ) {displaystyle s(U)} и s ( V ) {displaystyle s(V)} следует существование значения s ( a U + b V ) {displaystyle s(aU+bV)} и равенство s ( a U + b V ) = a s ( U ) + b s ( V ) {displaystyle s(aU+bV)=as(U)+bs(V)} ).

Примеры

Суммирующей функцией Пуассона-Абеля называется функция, определённая равенством s p = lim x → 1 − 0 lim n → ∞ ∑ k = 1 n u k x k {displaystyle s_{p}=lim _{x o 1-0}lim _{n o infty }sum _{k=1}^{n}u_{k}x^{k}} . Суммирующая функция Пуассона-Абеля является регулярной и линейной.