Эллипсоидальные координаты

Эллипсоидальные координаты — трёхмерная ортогональная система координат ( λ , μ , ν ) {displaystyle (lambda ,mu , u )} , являющаяся обобщением двумерной эллиптической системы координат. Данная система координат основана на использовании софокусных поверхностей второго порядка.

Основные формулы

Декартовы координаты ( x , y , z ) {displaystyle (x,y,z)} получаются из эллипсоидальных координат ( λ , μ , ν ) {displaystyle (lambda ,mu , u )} при помощи уравнений

x 2 = ( a 2 + λ ) ( a 2 + μ ) ( a 2 + ν ) ( a 2 − b 2 ) ( a 2 − c 2 ) , {displaystyle x^{2}={frac {left(a^{2}+lambda ight)left(a^{2}+mu ight)left(a^{2}+ u ight)}{left(a^{2}-b^{2} ight)left(a^{2}-c^{2} ight)}},} y 2 = ( b 2 + λ ) ( b 2 + μ ) ( b 2 + ν ) ( b 2 − a 2 ) ( b 2 − c 2 ) , {displaystyle y^{2}={frac {left(b^{2}+lambda ight)left(b^{2}+mu ight)left(b^{2}+ u ight)}{left(b^{2}-a^{2} ight)left(b^{2}-c^{2} ight)}},} z 2 = ( c 2 + λ ) ( c 2 + μ ) ( c 2 + ν ) ( c 2 − b 2 ) ( c 2 − a 2 ) , {displaystyle z^{2}={frac {left(c^{2}+lambda ight)left(c^{2}+mu ight)left(c^{2}+ u ight)}{left(c^{2}-b^{2} ight)left(c^{2}-a^{2} ight)}},}

при этом на координаты накладываются ограничения

− λ < c 2 < − μ < b 2 < − ν < a 2 . {displaystyle -lambda <c^{2}<-mu <b^{2}<- u <a^{2}.}

Поверхности с постоянной λ {displaystyle lambda } являются эллипсоидами:

x 2 a 2 + λ + y 2 b 2 + λ + z 2 c 2 + λ = 1 , {displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}+lambda }}+{frac {y^{2}}{b^{2}+lambda }}+{frac {z^{2}}{c^{2}+lambda }}=1,}

Поверхности с постоянной μ {displaystyle mu } являются однополостными гиперболоидами

x 2 a 2 + μ + y 2 b 2 + μ + z 2 c 2 + μ = 1 , {displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}+mu }}+{frac {y^{2}}{b^{2}+mu }}+{frac {z^{2}}{c^{2}+mu }}=1,}

поскольку последнее слагаемое отрицательно, а поверхности с постоянной ν {displaystyle u } являются двуполостными гиперболоидами

x 2 a 2 + ν + y 2 b 2 + ν + z 2 c 2 + ν = 1 , {displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}+ u }}+{frac {y^{2}}{b^{2}+ u }}+{frac {z^{2}}{c^{2}+ u }}=1,}

поскольку два последних слагаемых отрицательны.

При построении эллипсоидальных координат используются софокусные поверхности второго порядка.

Масштабные множители и дифференциальные операторы

Для краткости в уравнениях ниже введём функцию

S ( σ )   = d e f   ( a 2 + σ ) ( b 2 + σ ) ( c 2 + σ ) , {displaystyle S(sigma ) {stackrel {mathrm {def} }{=}} left(a^{2}+sigma ight)left(b^{2}+sigma ight)left(c^{2}+sigma ight),}

где σ {displaystyle sigma } может представлять любую из величин ( λ , μ , ν ) {displaystyle (lambda ,mu , u )} . Используя данную функцию, можем записать масштабные множители

h λ = 1 2 ( λ − μ ) ( λ − ν ) S ( λ ) , {displaystyle h_{lambda }={frac {1}{2}}{sqrt {frac {left(lambda -mu ight)left(lambda - u ight)}{S(lambda )}}},} h μ = 1 2 ( μ − λ ) ( μ − ν ) S ( μ ) , {displaystyle h_{mu }={frac {1}{2}}{sqrt {frac {left(mu -lambda ight)left(mu - u ight)}{S(mu )}}},} h ν = 1 2 ( ν − λ ) ( ν − μ ) S ( ν ) . {displaystyle h_{ u }={frac {1}{2}}{sqrt {frac {left( u -lambda ight)left( u -mu ight)}{S( u )}}}.}

Следовательно бесконечно малый элементарный объём запишется в виде

d V = ( λ − μ ) ( λ − ν ) ( μ − ν ) 8 − S ( λ ) S ( μ ) S ( ν )   d λ d μ d ν , {displaystyle dV={frac {left(lambda -mu ight)left(lambda - u ight)left(mu - u ight)}{8{sqrt {-S(lambda )S(mu )S( u )}}}} dlambda dmu d u ,}

а лапласиан имеет вид

∇ 2 Φ = 4 S ( λ ) ( λ − μ ) ( λ − ν ) ∂ ∂ λ [ S ( λ ) ∂ Φ ∂ λ ]   + {displaystyle abla ^{2}Phi ={frac {4{sqrt {S(lambda )}}}{left(lambda -mu ight)left(lambda - u ight)}}{frac {partial }{partial lambda }}left[{sqrt {S(lambda )}}{frac {partial Phi }{partial lambda }} ight] +} + 4 S ( μ ) ( μ − λ ) ( μ − ν ) ∂ ∂ μ [ S ( μ ) ∂ Φ ∂ μ ]   +   4 S ( ν ) ( ν − λ ) ( ν − μ ) ∂ ∂ ν [ S ( ν ) ∂ Φ ∂ ν ] . {displaystyle +{frac {4{sqrt {S(mu )}}}{left(mu -lambda ight)left(mu - u ight)}}{frac {partial }{partial mu }}left[{sqrt {S(mu )}}{frac {partial Phi }{partial mu }} ight] + {frac {4{sqrt {S( u )}}}{left( u -lambda ight)left( u -mu ight)}}{frac {partial }{partial u }}left[{sqrt {S( u )}}{frac {partial Phi }{partial u }} ight].}

Другие дифференциальные операторы, такие как ∇ ⋅ F {displaystyle abla cdot mathbf {F} } и ∇ × F {displaystyle abla imes mathbf {F} } , можно выразить в координатах ( λ , μ , ν ) {displaystyle (lambda ,mu , u )} путём подстановки масштабных множителей в общие формулы для ортогональных координат.