Стандартные ошибки в форме Уайта

Стандартные ошибки в форме Уайта или состоятельные при гетероскедастичности стандартные ошибки (HC s.e. — Heteroskedasticity consistent standard errors) — применяемая в эконометрике оценка ковариационной матрицы (в частности и стандартных ошибок) МНК-оценок параметров линейной модели регрессии, которая состоятельна при гетероскедастичности случайных ошибок модели, альтернативная стандартной (классической) оценке, которая в данном случае является несостоятельной.

Сущность и формула

Истинная ковариационная матрица МНК-оценок параметров линейной модели в общем случае равна:

V ( b ^ O L S ) = ( X T X ) − 1 ( X T V X ) ( X T X ) − 1 {displaystyle V({hat {b}}_{OLS})=(X^{T}X)^{-1}(X^{T}VX)(X^{T}X)^{-1}}

где V — ковариационная матрица случайных ошибок. В случае, если нет гетероскедастичности и автокорреляции (то есть когда V = σ 2 I {displaystyle V=sigma ^{2}I} ) формула упрощается

V ^ ( b ^ O L S ) = σ 2 ( X T X ) − 1 {displaystyle {hat {V}}({hat {b}}_{OLS})={sigma }^{2}(X^{T}X)^{-1}}

Поэтому для оценки ковариационной матрицы в классическом случае достаточно использовать оценку единственного параметра — дисперсии случайных ошибок: s 2 = E S S / ( n − k ) {displaystyle s^{2}=ESS/(n-k)} , которая, как можно доказать, является несмещённой и состоятельной оценкой.

В общем случае, однако, необходима некоторая оценка неизвестной ковариационной матрицы. В частности, если предполагается наличие гетероскедастичности при отсутствии автокорреляции, ковариционная матрица случайных ошибок является диагональной и все диагональные элементы σ t 2 {displaystyle sigma _{t}^{2}} неизвестны. В этом случае, общее выражение для ковариационной матрицы оценок можно записать в виде:

V ( b ^ O L S ) = ( X T X ) − 1 ( ∑ t = 1 n σ t 2 x t x t T ) ( X T X ) − 1 {displaystyle V({hat {b}}_{OLS})=(X^{T}X)^{-1}(sum _{t=1}^{n}sigma _{t}^{2}x_{t}x_{t}^{T})(X^{T}X)^{-1}}

Уайт (White, 1980) показал, что если использовать в этой формуле вместо неизвестных дисперсий ошибок квадраты остатков регрессии, то получается состоятельная оценка:

V ^ ( b ^ O L S ) = ( X T X ) − 1 ( ∑ t = 1 n e t 2 x t x t T ) ( X T X ) − 1 {displaystyle {hat {V}}({hat {b}}_{OLS})=(X^{T}X)^{-1}(sum _{t=1}^{n}e_{t}^{2}x_{t}x_{t}^{T})(X^{T}X)^{-1}}

Необходимо отметить, что данная оценка является состоятельной только при отсутствии автокорреляции случайных ошибок (то есть как и было описано — в случае диагональной ковариационной матрицы случайных ошибок). В случае, если имеется ещё и автокорреляция, то можно использовать стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста.

Замечание

Иногда приведённую формулу оценки ковариационной матрицы корректируют на множитель n / ( n − k ) {displaystyle n/(n-k)} . Такая корректировка теоретически позволяет получить более точные оценки на малых выборках. В то же время на больших выборках (асимптотически) эти оценки эквивалентны.