Банахово пространство

Банахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.

Названо по имени польского математика Стефана Банаха (1892—1945), который с 1922 года систематически изучал эти пространства.

Примеры

Некоторые примеры банаховых пространств (далее через K {displaystyle K} обозначено одно из полей R {displaystyle mathbb {R} } или C {displaystyle mathbb {C} } ):

• Евклидовы пространства K n {displaystyle K^{n}} с евклидовой нормой, определяемой для x = ( x 1 , … , x n ) {displaystyle x=(x_{1},;ldots ,;x_{n})} как ‖ x ‖ = ∑ | x i | 2 {displaystyle |x|={sqrt {sum |x_{i}|^{2}}}} , являются банаховыми пространствами.
• Пространство всех непрерывных функций f : [ a , b ] → K {displaystyle fcolon [a,;b] o K} , определённых на закрытом интервале [ a , b ] {displaystyle [a,;b]} будет банаховым пространством, если мы определим его норму как ‖ f ‖ = sup { | f ( x ) | : x ∈ [ a , b ] } {displaystyle |f|=sup{|f(x)|colon xin [a,;b]}} . Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как C [ a , b ] {displaystyle C[a,b]} . Этот пример можно обобщить к пространству C ( X ) {displaystyle C(X)} всех непрерывных функций X → K {displaystyle X o K} , где X {displaystyle X} — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций X → K {displaystyle X o K} , где X {displaystyle X} — любое топологическое пространство, или даже к пространству B ( X ) {displaystyle B(X)} всех ограниченных функций X → K {displaystyle X o K} , где X {displaystyle X} — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
• Если p ⩾ 1 {displaystyle pgeqslant 1} — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей ( x 1 , x 2 , x 3 , … ) {displaystyle (x_{1},;x_{2},;x_{3},;ldots )} элементов из K {displaystyle K} , таких что ряд ∑ | x i | p {displaystyle sum |x_{i}|^{p}} сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени p {displaystyle p} из суммы этого ряда, и обозначается l p {displaystyle l^{p}} .
• Банахово пространство l ∞ {displaystyle l^{infty }} состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из K {displaystyle K} ; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
• Снова, если p ⩾ 1 {displaystyle pgeqslant 1} — вещественное число, можно рассматривать все функции, интегрируемые по Лебегу (причём степень p {displaystyle p} их модуля также суммируема). Корень степени p {displaystyle p} этого интеграла от p {displaystyle p} -й степени модуля функции определим как полунорму f {displaystyle f} . Это множество — не банахово пространство, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: f {displaystyle f} и g {displaystyle g} эквивалентны тогда и только тогда, когда полунорма разности f − g {displaystyle f-g} равна нулю. Множество классов эквивалентности относительно этого отношения уже является банаховым пространством; оно обозначается как L p [ a , b ] {displaystyle L^{p}[a,;b]} . Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, Lp-пространства.
• Если X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму X ⊕ Y {displaystyle Xoplus Y} , которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
• Если M {displaystyle M} — замкнутое подпространство банахова пространства X {displaystyle X} , то факторпространство X / M {displaystyle X/M} снова является банаховым.
• Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
• Если V {displaystyle V} и W {displaystyle W} — банаховы пространства над одним полем K {displaystyle K} , тогда множество непрерывных K {displaystyle K} -линейных отображений A : V → W {displaystyle Acolon V o W} обозначается L ( V , W ) {displaystyle L(V,;W)} . Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. L ( V , W ) {displaystyle L(V,;W)} — векторное пространство, и, если норма задана как ‖ A ‖ = sup { ‖ A x ‖ : x ∈ V , ‖ x ‖ ⩽ 1 } {displaystyle |A|=sup{|Ax|colon xin V,;|x|leqslant 1}} , является также и банаховым.
  • Пространство L ( V ) = L ( V , V ) {displaystyle L(V)=L(V,;V)} представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.

Типы банаховых пространств

• Гильбертово пространство
• Рефлексивное пространство