Числа Каллена

В математике числами Каллена называют натуральные числа вида n ⋅ 2 n + 1 {displaystyle ncdot 2^{n}+1} (пишется Cn). Числа Каллена впервые были изучены ирландским математиком Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.

Свойства

В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher Hooley) показал, что Плотность последовательности положительных целых n ≤ x {displaystyle nleq x} , для которых Cn простое, есть o(x) для x → ∞ {displaystyle x o infty } . В этом смысле почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел n ⋅ 2 n + a + b {displaystyle ncdot 2^{n+a}+b} где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Все известные простые числа Каллена соответствуют n, равному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 последовательность A005849 в OEIS.

Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.

К августу 2009, наибольшим известным простым числом Каллена было 6679881 ⋅ 2 6679881 + 1 {displaystyle 6679881cdot 2^{6679881}+1} . Это мегапростое число с 2 010 852 знаками было открыто соучастником PrimeGrid из Японии.

Числа Каллена Cn делятся на p = 2 n − 1 {displaystyle p=2n-1} , если p простое число вида 8 k − 3 {displaystyle 8k-3} . Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечётное, то p делит Cm(k) для каждого m ( k ) = ( 2 k − k ) ( p − 1 ) − k {displaystyle m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k} (для k > 0). Было также показано, что простое число p делит C ( p + 1 ) / 2 {displaystyle C_{(p+1)/2}} , когда символ Якоби ( 2 p ) {displaystyle left({frac {2}{p}} ight)} есть −1, и что p делит C ( 3 p − 1 ) / 2 {displaystyle C_{(3p-1)/2}} , когда символ Якоби ( 2 p ) {displaystyle left({frac {2}{p}} ight)} есть +1.

Неизвестно, существует ли простое число p, такое что Cp тоже простое.

Обобщения

Иногда обобщёнными числами Каллена называют числа вида n ⋅ b n + 1 {displaystyle ncdot b^{n}+1} , где n + 2 > b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщённым простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.

К февралю 2012 года наибольшим известным обобщённым простым числом Каллена было 427194 ⋅ 113 427194 + 1 {displaystyle 427194cdot 113^{427194}+1} . Оно имеет 877 069 знаков и было открыто соучастником PrimeGrid из США.