Ортогональная система координат

Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

d s 2 = ∑ k = 1 d ( h k d q k ) 2 {displaystyle ds^{2}=sum _{k=1}^{d}left(h_{k}dq^{k} ight)^{2}}

где d размерность пространства. Скалярный фактор

h k ( q )   = d e f   g k k ( q ) = | e k | {displaystyle h_{k}(mathbf {q} ) {stackrel {mathrm {def} }{=}} {sqrt {g_{kk}(mathbf {q} )}}=|mathbf {e} _{k}|}

равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора ek .

В ортогональных системах координат q = (q1, q2, …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси Ox, Oy и Oz. Ортогональные координаты представляют собой частный случай криволинейных координат. Наиболее часто в качестве ортогональных координат используются декартовы координаты, так как именно в этих координатах большинство уравнений имеют наиболее простой вид. Прочие системы ортогональных координат используются реже, в частности, для решения краевых задач, таких как задача о теплопроводности, диффузии и т. д. Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования

Базисные векторы

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

e i ⋅ e j = 0 , i ≠ j {displaystyle e_{i}cdot e_{j}=0,{egin{matrix}{}&i eq jend{matrix}}} В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых e i ( n ) = e i | e i | {displaystyle e_{i}^{left(n ight)}={frac {e_{i}}{left|e_{i} ight|}}}

Для нормированных базисных векторов e i ⋅ e j = δ i j {displaystyle e_{i}cdot e_{j}=delta _{ij}} , где

δ i j {displaystyle delta _{ij}} — символ Кронекера.

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

x ⋅ y = ∑ h i 2 x i y i = ∑ x i y i h i 2 = ∑ x i y i = ∑ x i y i {displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} =sum h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=sum {frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=sum x^{i}y_{i}=sum x_{i}y^{i}}

Векторное произведение

Векторное произведение в ортогональных системах координат вычисляется по формуле:

x × y = ∑ x i e i × ∑ y i e i = ∑ x i h i e ^ i × ∑ y i h i e ^ i {displaystyle mathbf {x} imes mathbf {y} =sum x^{i}mathbf {e} _{i} imes sum y^{i}mathbf {e} _{i}=sum x^{i}h_{i}{hat {mathbf {e} }}_{i} imes sum y^{i}h_{i}{hat {mathbf {e} }}_{i}}