Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Точечная оценка

Дата: 13-12-2020, 06:55 » Раздел: Статьи  » 

Точечная оценка в математической статистике — это число, оцениваемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Определение

Пусть X 1 , … , X n , … {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n},ldots } — случайная выборка для распределения, зависящего от параметра θ ∈ Θ {displaystyle heta in Theta } . Тогда статистику θ ^ ( X 1 , … , X n ) {displaystyle {hat { heta }}(X_{1},ldots ,X_{n})} , принимающую значения в Θ {displaystyle displaystyle Theta } , называют точечной оценкой параметра θ {displaystyle heta } .

Замечание

Формально статистика θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра θ {displaystyle heta } . Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценок

  • Оценка θ ^ = θ ^ ( X ) {displaystyle {hat { heta }}={hat { heta }}(X)} называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:
E θ [ θ ^ ] = θ , ∀ θ ∈ Θ {displaystyle mathbb {E} _{ heta }left[{hat { heta }} ight]= heta ,quad forall heta in Theta } , где E θ {displaystyle mathbb {E} _{ heta }} обозначает математическое ожидание в предположении, что θ {displaystyle heta } — истинное значение параметра (распределения выборки X {displaystyle X} ).
  • Оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.
  • Оценка θ ^ n = θ ^ n ( X 1 , … , X n ) {displaystyle {hat { heta }}_{n}={hat { heta }}_{n}(X_{1},dots ,X_{n})} называется состоятельной, если она с увеличением объема выборки n стремится по вероятности к параметру генеральной совокупности: ∀ θ ∈ Θ {displaystyle forall heta in Theta } ,
θ ^ n → θ {displaystyle {hat { heta }}_{n} o heta } по вероятности при n → ∞ {displaystyle n o infty } .
  • Оценка θ ^ n {displaystyle {hat { heta }}_{n}} называется сильно состоятельной, если ∀ θ ∈ Θ {displaystyle forall heta in Theta } ,
θ ^ n → θ {displaystyle {hat { heta }}_{n} o heta } почти наверное при n → ∞ {displaystyle n o infty } .

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: