Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Периодическая группа


Периодическая группа — группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок. Все конечные группы периодичны. Понятие периодической группы не следует путать с понятием циклической группы.

Экспонента (или период) периодической группы G {displaystyle G} — это наименьшее общее кратное порядков элементов G {displaystyle G} , если таковое существует. Любая конечная группа имеет экспоненту — это делитель числа | G | {displaystyle |G|} .

Одна из ключевых задач теории групп — проблема Бёрнсайда — посвящена вопросу о соотношении между периодическими группами и конечными группами в классе конечнопорождённых групп, основной вопрос — следует ли из существования экспоненты конечность группы (в общем случае, ответ отрицательный).

Примеры бесконечных периодических групп включают аддитивную группу кольца многочленов над конечным полем и факторгруппу Q / Z {displaystyle mathbb {Q} /mathbb {Z} } , как и группу Прюфера, являющуюся подгруппой Q / Z {displaystyle mathbb {Q} /mathbb {Z} } . Другой пример — объединение всех диэдральных групп. Ни одна из этих групп не имеет конечного числа образующих, и любая периодическая линейная группа с конечным числом образующих конечна. Примеры бесконечных периодических групп с конечным числом образующих были построены Голодом на основе совместной работы с Шафаревичем (теорема Голода — Шафаревича), а также Алёшиным и Григорчуком с использованием теории автоматов.

Математическая логика

Одно из примечательных свойств периодических групп состоит в том, что они не могут быть формализованы средствами логики первого порядка. В противном случае потребовалась бы аксиома вида:

∀ x . ( ( x = e ) ∨ ( x ∘ x = e ) ∨ ( ( x ∘ x ) ∘ x = e ) ∨ ⋯ ) {displaystyle forall x.,((x=e)lor (xcirc x=e)lor ((xcirc x)circ x=e)lor cdots )} ,

содержащая бесконечную дизъюнкцию, а потому неприемлемая. Невозможно обойти эту бесконечную дизъюнкцию с помощью бесконечного числа аксиом — из теоремы о компактности следует, что никакое множество формул первого порядка не может описать класс периодических групп.

Связанные понятия

Подгруппа кручения абелевой группы A {displaystyle A} — подгруппа, состоящая из всех элементов, имеющих конечный порядок. Абелева группа кручения — это абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Абелева группа без кручения — абелева группа, в которой единичный элемент является единственным элементом, имеющим конечный порядок.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: