Уравнение (неравенство) с параметрами

Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:

a x + 1 = 4 , {displaystyle a,x+1=4,}

Пример нелинейного уравнения с параметром:

log x 2 a + 3 7 − x = 5 , {displaystyle {mbox{log}}_{x^{2}}{frac {a+3}{7-x}}=5,}

где x {displaystyle x} — независимая переменная a {displaystyle a} — параметр.

Аналогично подразделяются и неравенства. Ниже будут представлены примеры решений уравнений и неравенств с параметрами.

Примеры

Пример 1.При каком a {displaystyle a} квадратное уравнение x 2 + 3 x − a = 0 {displaystyle {x^{2}}+3,x-a=0} имеет ровно один корень?

Решение. Любое квадратное уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю. Итак, дискриминант нашего уравнения: D = 9 + 4 a {displaystyle D=9+4,a} . Далее имеем: 9 + 4 a = 0 {displaystyle 9+4,a=0} , откуда a = − 9 4 {displaystyle a=-{ frac {9}{4}}} .

Ответ: a = − 9 4 {displaystyle a=-{frac {9}{4}}} . Пример 2. При каком a {displaystyle a} система уравнений :

{ x 2 + y 2 − 2 a x − 2 y − 8 + a 2 = 0 , x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0 {displaystyle {egin{cases}x^{2}+y^{2}-2ax-2y-8+a^{2}=0,x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0end{cases}}} .

имеет ровно два решения?

Решение. Сначала надо преобразовать два уравнения системы, выделив в них полные квадраты: { x 2 + y 2 − 2 a x − 2 y − 8 + a 2 = 0 , x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0 {displaystyle {egin{cases}x^{2}+y^{2}-2ax-2y-8+a^{2}=0,x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0end{cases}}} ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } { ( x 2 − 2 a x + a 2 ) + ( y 2 − 2 y + 1 ) = 9 , ( x 2 − 4 x + 4 ) + ( y 2 − 2 y + 1 ) = 4 {displaystyle {egin{cases}(x^{2}-2ax+a^{2})+(y^{2}-2y+1)=9,(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-2y+1)=4end{cases}}} ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } { ( x − a ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 9 , ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 4 {displaystyle {egin{cases}(x-a)^{2}+(y-1)^{2}=9,(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4end{cases}}}

Нетрудно догадаться, что эти два равенства системы есть не что иное, как уравнения окружностей. Первая окружность имеет центр в точке ( a ; 1 ) {displaystyle (a;1)} , радиус 3 {displaystyle 3} , а вторая центр в точке ( 2 ; 1 ) {displaystyle (2;1)} и радиус 2 {displaystyle 2} . Если построить схематично эти окружности в одной системе координат, то можно заметить, что их общих точек пересечения будет две в том случае, если a ∈ ( − 3 ; 1 ) ∪ ( 3 ; 7 ) {displaystyle ain (-3;1)cup (3;7)} . И задачу можно считать решённой.

Ответ: a ∈ ( − 3 ; 1 ) ∪ ( 3 ; 7 ) {displaystyle ain (-3;1)cup (3;7)} . Пример 3. При всех a {displaystyle a} решить неравенство a x 2 + ( a + 1 ) x + 1 ⩾ 0 {displaystyle ax^{2}+(a+1)x+1geqslant 0} .

Решение. Рассмотрим три случая:

Если a = 0 {displaystyle a=0} , то неравенство приобретает вид x + 1 ⩾ 0 ⇔ x ∈ [ − 1 ; + ∞ ) {displaystyle x+1geqslant 0Leftrightarrow xin [-1;+infty )} ;

Если a ⩾ 0 {displaystyle ageqslant 0} , то все коэффициенты квадратного трехчлена будут положительны, значит, решение неравенства можно представить в виде x ∈ ( − ∞ ; x 1 ] ∪ [ x 2 ; + ∞ ) {displaystyle xin (-infty ;x_{1}]cup [x_{2};+infty )} , где x 1 {displaystyle x_{1}} , x 2 {displaystyle x_{2}} - корни многочлена и x 1 ⩽ x 2 {displaystyle x_{1}leqslant x_{2}} . Далее находим: x 1 = − a − 1 − a 2 + 2 a + 1 − 4 a 2 a ⇔ x 1 = − a − 1 − | a − 1 | 2 a = { − 1 , a ⩾ 1 , − 1 a , 0 ⩽ a ⩽ 1 {displaystyle x_{1}={cfrac {-a-1-{sqrt {a^{2}+2a+1-4a}}}{2a}}Leftrightarrow x_{1}={cfrac {-a-1-|a-1|}{2a}}={egin{cases}-1,ageqslant 1,-{ frac {1}{a}},0leqslant aleqslant 1end{cases}}}

x 2 = { − 1 a , a ⩾ 1 , − 1 , 0 ⩽ a ⩽ 1 {displaystyle x_{2}={egin{cases}-{ frac {1}{a}},ageqslant 1,-1,0leqslant aleqslant 1end{cases}}}

Следовательно, x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ − 1 a ; + ∞ ) {displaystyle xin (-infty ;-1]cup [-{ frac {1}{a}};+infty )} , если a ⩾ 1 {displaystyle ageqslant 1} и x ∈ ( − ∞ ; − 1 a ] ∪ [ − 1 ; + ∞ ) {displaystyle xin (-infty ;-{ frac {1}{a}}]cup [-1;+infty )} , если 0 ⩽ a ⩽ 1 {displaystyle 0leqslant aleqslant 1} .

3. Если a ⩽ 0 {displaystyle aleqslant 0} , то ветви параболы направлены вниз, естественно решение в общем виде будет выглядеть вот так: x ∈ [ x 1 ; x 2 ] ⇔ x ∈ [ − 1 ; − 1 a ] {displaystyle xin [x_{1};x_{2}]Leftrightarrow xin [-1;-{ frac {1}{a}}]} .

Нам остается лишь записать ответ.

Ответ: если a = 0 {displaystyle a=0} , то x ∈ [ − 1 ; + ∞ ) {displaystyle xin [-1;+infty )} ; если a ⩾ 1 {displaystyle ageqslant 1} , то x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ − 1 a ; + ∞ ) {displaystyle xin (-infty ;-1]cup [-{ frac {1}{a}};+infty )} ; если 0 ⩽ a ⩽ 1 {displaystyle 0leqslant aleqslant 1} , то x ∈ ( − ∞ ; − 1 a ] ∪ [ − 1 ; + ∞ ) {displaystyle xin (-infty ;-{ frac {1}{a}}]cup [-1;+infty )} ; если a ⩽ 0 {displaystyle aleqslant 0} , то x ∈ [ − 1 ; − 1 a ] {displaystyle xin [-1;-{ frac {1}{a}}]} .