Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Поверхность Шерка

Дата: 11-12-2020, 00:44 » Раздел: Статьи  » 

Поверхность Шерка (названа именем Генриха Шерка) является примером минимальной поверхности. Шерк описал две полные вложенные минимальные поверхности в 1834 году. Его первая поверхность является дважды периодической поверхностью, а вторая является просто периодической. Они были третьим нетривиальным примером минимальных поверхностей (первыми двумя были катеноид и геликоид).. Две поверхности сопряжены друг другу.

Поверхности Шерка возникают при изучении некоторых задач о минимальных поверхностях и изучении гармонических диффеоморфизмов гиперболического пространства.

Первая поверхность Шерка

Первая поверхность Шерка асимптотически стремится к двум бесконечным семействам параллельных плоскостей, ортогональных друг другу. Поверхности образуют близ z = 0 арки мостов в шахматном порядке. Поверхность содержит бесконечное число прямых вертикальных линий.

Построение простой поверхности Шерка

Рассмотрим следующую минимальную поверхность на квадрате на евклидовой плоскости: для натурального числа n найти минимальную поверхность Σ n {displaystyle Sigma _{n}} как график некоторой функции

u n : ( − π 2 , + π 2 ) × ( − π 2 , + π 2 ) → R {displaystyle u_{n}:left(-{ frac {pi }{2}},+{ frac {pi }{2}} ight) imes left(-{ frac {pi }{2}},+{ frac {pi }{2}} ight) o mathbb {R} }

так что

lim y → ± π / 2 u n ( x , y ) = + n {displaystyle lim _{y o pm pi /2}u_{n}left(x,y ight)=+n} для − π 2 < x < + π 2 , {displaystyle -{ frac {pi }{2}}<x<+{ frac {pi }{2}},} lim x → ± π / 2 u n ( x , y ) = − n {displaystyle lim _{x o pm pi /2}u_{n}left(x,y ight)=-n} для − π 2 < y < + π 2 . {displaystyle -{ frac {pi }{2}}<y<+{ frac {pi }{2}}.}

То есть, un удовлетворяет уравнению минимальной поверхности

d i v ( ∇ u n ( x , y ) 1 + | ∇ u n ( x , y ) | 2 ) ≡ 0 {displaystyle mathrm {div} left({ frac { abla u_{n}(x,y)}{sqrt {1+| abla u_{n}(x,y)|^{2}}}} ight)equiv 0}

и

Σ n = { ( x , y , u n ( x , y ) ) ∈ R 3 | − π 2 < x , y < + π 2 } . {displaystyle Sigma _{n}=left{(x,y,u_{n}(x,y))in mathbb {R} ^{3}left|-{ frac {pi }{2}}<x,y<+{ frac {pi }{2}} ight. ight}.}

Что будет с поверхностью при стремлении n к бесконечности? Ответ дал Х. Шерк в 1834 году: предельная поверхность Σ {displaystyle Sigma } является графиком функции

u : ( − π 2 , + π 2 ) × ( − π 2 , + π 2 ) → R , {displaystyle u:left(-{ frac {pi }{2}},+{ frac {pi }{2}} ight) imes left(-{ frac {pi }{2}},+{ frac {pi }{2}} ight) o mathbb {R} ,} u ( x , y ) = log ⁡ ( cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) ) . {displaystyle u(x,y)=log left({ frac {cos(x)}{cos(y)}} ight).}

То есть, поверхность Шерка над квадратом равна

Σ = { ( x , y , log ⁡ ( cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) ) ) ∈ R 3 | − π 2 < x , y < + π 2 } . {displaystyle Sigma =left{left.left(x,y,log left({ frac {cos(x)}{cos(y)}} ight) ight)in mathbb {R} ^{3} ight|-{ frac {pi }{2}}<x,y<+{ frac {pi }{2}} ight}.}

Более общие поверхности Шерка

Можно рассмотреть похожие задачи с минимальными поверхностями на других четырёхугольниках на евклидовой плоскости. Можно также рассмотреть ту же задачу на четырёхугольниках на гиперболической плоскости. В 2006 году Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин использовали гиперболические поверхности Шерка для построения гармонического диффеоморфизма из комплексной плоскости в гиперболическую плоскость (единичный диск с гиперболической метрикой), опровергая тем самым гипотезу гипотеза Шёна — Яу.

Вторая поверхность Шерка

Вторая поверхность Шерка глобально выглядит как две ортогональные плоскости, пересечение которых состоит из последовательности туннелей в чередующихся направлениях. Их пересечения с горизонтальными плоскостями состоит из чередующихся гипербол.

Поверхность задаётся уравнением:

sin ⁡ ( z ) − s h ( x ) s h ( y ) = 0 {displaystyle sin(z)-mathrm {sh} ,(x)mathrm {sh} ,(y)=0}

Поверхность имеет Параметризация Вейерштрасса — Эннепера f ( z ) = 4 1 − z 4 {displaystyle f(z)={ frac {4}{1-z^{4}}}} , g ( z ) = i z {displaystyle g(z)=iz} и может быть параметризована как:

x ( r , θ ) = 2 ℜ ( ln ⁡ ( 1 + r e i θ ) − ln ⁡ ( 1 − r e i θ ) ) = ln ⁡ ( 1 + r 2 + 2 r cos ⁡ θ 1 + r 2 − 2 r cos ⁡ θ ) {displaystyle x(r, heta )=2Re (ln(1+re^{i heta })-ln(1-re^{i heta }))=ln left({ frac {1+r^{2}+2rcos heta }{1+r^{2}-2rcos heta }} ight)} y ( r , θ ) = ℜ ( 4 i tan − 1 ⁡ ( r e i θ ) ) = ln ⁡ ( 1 + r 2 − 2 r sin ⁡ θ 1 + r 2 + 2 r sin ⁡ θ ) {displaystyle y(r, heta )=Re (4i an ^{-1}(re^{i heta }))=ln left({ frac {1+r^{2}-2rsin heta }{1+r^{2}+2rsin heta }} ight)} z ( r , θ ) = ℜ ( 2 i ( − ln ⁡ ( 1 − r 2 e 2 i θ ) + ln ⁡ ( 1 + r 2 e 2 i θ ) ) = 2 tan − 1 ⁡ ( 2 r 2 sin ⁡ 2 θ r 4 − 1 ) {displaystyle z(r, heta )=Re (2i(-ln(1-r^{2}e^{2i heta })+ln(1+r^{2}e^{2i heta }))=2 an ^{-1}left({ frac {2r^{2}sin 2 heta }{r^{4}-1}} ight)}

для θ ∈ [ 0 , 2 π ) {displaystyle heta in [0,2pi )} и r ∈ ( 0 , 1 ) {displaystyle rin (0,1)} . Это даёт один период поверхности, который может быть распространён в z-направлении симметрией.

Поверхность обобщил Х. Кархер в семейство сёдл пилона периодических минимальных поверхностей.

В литературе по ошибке эту поверхность называют пятой поверхностью Шерка. Для уменьшения путаницы полезно упоминать поверхность как поверхность Шерка одного периода или как башню Шерка.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: