Матрицы Дирака
Матрицы Дирака (также известные как гамма-матрицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.
Определение
Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению
{ γ μ , γ ν } = γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 η μ ν I , {displaystyle displaystyle {gamma ^{mu },gamma ^{ u }}=gamma ^{mu }gamma ^{ u }+gamma ^{ u }gamma ^{mu }=2eta ^{mu u }I,}где η μ ν {displaystyle eta ^{mu u }} — метрика Минковского сигнатуры ( + − − − ) , {displaystyle left(+--- ight),} I — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.
Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:
γ 0 = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ] , γ 1 = [ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 − 1 0 0 − 1 0 0 0 ] , γ 2 = [ 0 0 0 − i 0 0 i 0 0 i 0 0 − i 0 0 0 ] , γ 3 = [ 0 0 1 0 0 0 0 − 1 − 1 0 0 0 0 1 0 0 ] {displaystyle gamma ^{0}={egin{bmatrix}1&0&0&0 &1&0&0 &0&-1&0 &0&0&-1end{bmatrix}},quad gamma ^{1}={egin{bmatrix}0&0&0&1 &0&1&0 &-1&0&0-1&0&0&0end{bmatrix}},quad gamma ^{2}={egin{bmatrix}0&0&0&-i &0&i&0 &i&0&0-i&0&0&0end{bmatrix}},quad gamma ^{3}={egin{bmatrix}0&0&1&0 &0&0&-1-1&0&0&0 &1&0&0end{bmatrix}}}
(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).
Пятая гамма-матрица, γ 5 {displaystyle gamma ^{5}}
Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:
γ 5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = [ 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] {displaystyle gamma ^{5}=igamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}={egin{bmatrix}0&0&1&0 &0&0&11&0&0&0 &1&0&0end{bmatrix}}} (в представлении Дирака).
γ 5 {displaystyle gamma ^{5}} можно записать в альтернативном виде:
где ε μ ν α β {displaystyle varepsilon _{mu u alpha eta }} — тензор Леви-Чивиты.
Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:
ψ L = 1 − γ 5 2 ψ , ψ R = 1 + γ 5 2 ψ {displaystyle psi _{L}={frac {1-gamma ^{5}}{2}}psi ,qquad psi _{R}={frac {1+gamma ^{5}}{2}}psi } .Некоторые свойства γ 5 {displaystyle gamma ^{5}} :
- Эрмитовость:
- Собственные значения равны ±1, поскольку
- Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:
Блочная структура
Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ1, σ2, σ3, дополненных единичной матрицей I. В представлении Дирака:
γ 0 = [ I 0 0 − I ] , γ 1 = [ 0 σ 1 − σ 1 0 ] , γ 2 = [ 0 σ 2 − σ 2 0 ] , γ 3 = [ 0 σ 3 − σ 3 0 ] . {displaystyle gamma ^{0}={egin{bmatrix}I&0 &-Iend{bmatrix}},quad gamma ^{1}={egin{bmatrix}0&sigma _{1}-sigma _{1}&0end{bmatrix}},quad gamma ^{2}={egin{bmatrix}0&sigma _{2}-sigma _{2}&0end{bmatrix}},quad gamma ^{3}={egin{bmatrix}0&sigma _{3}-sigma _{3}&0end{bmatrix}}.}В представлении Вейля γ k {displaystyle gamma ^{k}} остаются теми же, но γ 0 {displaystyle gamma ^{0}} отличается, поэтому γ 5 {displaystyle gamma ^{5}} тоже изменена:
γ 0 = [ 0 I I 0 ] , γ k = [ 0 σ k − σ k 0 ] , γ 5 = [ − I 0 0 I ] . {displaystyle gamma ^{0}={egin{bmatrix}0&II&0end{bmatrix}},quad gamma ^{k}={egin{bmatrix}0&sigma ^{k}-sigma ^{k}&0end{bmatrix}},quad gamma ^{5}={egin{bmatrix}-I&0 &Iend{bmatrix}}.}Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:
ψ L = 1 2 ( 1 − γ 5 ) ψ = [ I 0 0 0 ] ψ , ψ R = 1 2 ( 1 + γ 5 ) ψ = [ 0 0 0 I ] ψ . {displaystyle psi _{L}={frac {1}{2}}(1-gamma ^{5})psi ={egin{bmatrix}I&0 &0end{bmatrix}}psi ,quad psi _{R}={frac {1}{2}}(1+gamma ^{5})psi ={egin{bmatrix}0&0 &Iend{bmatrix}}psi .}Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:
γ 0 = [ 0 σ 2 σ 2 0 ] , γ 1 = [ i σ 3 0 0 i σ 3 ] {displaystyle gamma ^{0}={egin{bmatrix}0&sigma ^{2}sigma ^{2}&0end{bmatrix}},quad gamma ^{1}={egin{bmatrix}isigma ^{3}&0 &isigma ^{3}end{bmatrix}}} γ 2 = [ 0 − σ 2 σ 2 0 ] , γ 3 = [ − i σ 1 0 0 − i σ 1 ] , γ 5 = [ σ 2 0 0 − σ 2 ] . {displaystyle gamma ^{2}={egin{bmatrix}0&-sigma ^{2}sigma ^{2}&0end{bmatrix}},quad gamma ^{3}={egin{bmatrix}-isigma ^{1}&0 &-isigma ^{1}end{bmatrix}},quad gamma ^{5}={egin{bmatrix}sigma ^{2}&0 &-sigma ^{2}end{bmatrix}}.}В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.
Тождества
Также для матриц Дирака выполняются тождества Фирца.
Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.