Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Матрицы Дирака

Дата: 6-12-2020, 05:00 » Раздел: Статьи  » 

Матрицы Дирака (также известные как гамма-матрицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.

Определение

Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению

{ γ μ , γ ν } = γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 η μ ν I , {displaystyle displaystyle {gamma ^{mu },gamma ^{ u }}=gamma ^{mu }gamma ^{ u }+gamma ^{ u }gamma ^{mu }=2eta ^{mu u }I,}

где η μ ν {displaystyle eta ^{mu u }} — метрика Минковского сигнатуры ( + − − − ) , {displaystyle left(+--- ight),} I — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.

Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:

γ 0 = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ] , γ 1 = [ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 − 1 0 0 − 1 0 0 0 ] , γ 2 = [ 0 0 0 − i 0 0 i 0 0 i 0 0 − i 0 0 0 ] , γ 3 = [ 0 0 1 0 0 0 0 − 1 − 1 0 0 0 0 1 0 0 ] {displaystyle gamma ^{0}={egin{bmatrix}1&0&0&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&-1end{bmatrix}},quad gamma ^{1}={egin{bmatrix}0&0&0&1&0&1&0&-1&0&0-1&0&0&0end{bmatrix}},quad gamma ^{2}={egin{bmatrix}0&0&0&-i&0&i&0&i&0&0-i&0&0&0end{bmatrix}},quad gamma ^{3}={egin{bmatrix}0&0&1&0&0&0&-1-1&0&0&0&1&0&0end{bmatrix}}}

(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).

Пятая гамма-матрица, γ 5 {displaystyle gamma ^{5}}

Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:

γ 5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = [ 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] {displaystyle gamma ^{5}=igamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}={egin{bmatrix}0&0&1&0&0&0&11&0&0&0&1&0&0end{bmatrix}}} (в представлении Дирака).


γ 5 {displaystyle gamma ^{5}} можно записать в альтернативном виде:

γ 5 = i 4 ! ε μ ν α β γ μ γ ν γ α γ β , {displaystyle gamma ^{5}={frac {i}{4!}}varepsilon _{mu u alpha eta }gamma ^{mu }gamma ^{ u }gamma ^{alpha }gamma ^{eta },}

где ε μ ν α β {displaystyle varepsilon _{mu u alpha eta }} — тензор Леви-Чивиты.

Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:

ψ L = 1 − γ 5 2 ψ , ψ R = 1 + γ 5 2 ψ {displaystyle psi _{L}={frac {1-gamma ^{5}}{2}}psi ,qquad psi _{R}={frac {1+gamma ^{5}}{2}}psi } .

Некоторые свойства γ 5 {displaystyle gamma ^{5}} :

  • Эрмитовость:
( γ 5 ) † = γ 5 . {displaystyle (gamma ^{5})^{dagger }=gamma ^{5}.}
  • Собственные значения равны ±1, поскольку
( γ 5 ) 2 = I . {displaystyle (gamma ^{5})^{2}=I.}
  • Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:
{ γ 5 , γ μ } = γ 5 γ μ + γ μ γ 5 = 0. {displaystyle left{gamma ^{5},gamma ^{mu } ight}=gamma ^{5}gamma ^{mu }+gamma ^{mu }gamma ^{5}=0.}

Блочная структура

Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ1, σ2, σ3, дополненных единичной матрицей I. В представлении Дирака:

γ 0 = [ I 0 0 − I ] , γ 1 = [ 0 σ 1 − σ 1 0 ] , γ 2 = [ 0 σ 2 − σ 2 0 ] , γ 3 = [ 0 σ 3 − σ 3 0 ] . {displaystyle gamma ^{0}={egin{bmatrix}I&0&-Iend{bmatrix}},quad gamma ^{1}={egin{bmatrix}0&sigma _{1}-sigma _{1}&0end{bmatrix}},quad gamma ^{2}={egin{bmatrix}0&sigma _{2}-sigma _{2}&0end{bmatrix}},quad gamma ^{3}={egin{bmatrix}0&sigma _{3}-sigma _{3}&0end{bmatrix}}.}

В представлении Вейля γ k {displaystyle gamma ^{k}} остаются теми же, но γ 0 {displaystyle gamma ^{0}} отличается, поэтому γ 5 {displaystyle gamma ^{5}} тоже изменена:

γ 0 = [ 0 I I 0 ] , γ k = [ 0 σ k − σ k 0 ] , γ 5 = [ − I 0 0 I ] . {displaystyle gamma ^{0}={egin{bmatrix}0&II&0end{bmatrix}},quad gamma ^{k}={egin{bmatrix}0&sigma ^{k}-sigma ^{k}&0end{bmatrix}},quad gamma ^{5}={egin{bmatrix}-I&0&Iend{bmatrix}}.}

Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:

ψ L = 1 2 ( 1 − γ 5 ) ψ = [ I 0 0 0 ] ψ , ψ R = 1 2 ( 1 + γ 5 ) ψ = [ 0 0 0 I ] ψ . {displaystyle psi _{L}={frac {1}{2}}(1-gamma ^{5})psi ={egin{bmatrix}I&0&0end{bmatrix}}psi ,quad psi _{R}={frac {1}{2}}(1+gamma ^{5})psi ={egin{bmatrix}0&0&Iend{bmatrix}}psi .}

Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:

γ 0 = [ 0 σ 2 σ 2 0 ] , γ 1 = [ i σ 3 0 0 i σ 3 ] {displaystyle gamma ^{0}={egin{bmatrix}0&sigma ^{2}sigma ^{2}&0end{bmatrix}},quad gamma ^{1}={egin{bmatrix}isigma ^{3}&0&isigma ^{3}end{bmatrix}}} γ 2 = [ 0 − σ 2 σ 2 0 ] , γ 3 = [ − i σ 1 0 0 − i σ 1 ] , γ 5 = [ σ 2 0 0 − σ 2 ] . {displaystyle gamma ^{2}={egin{bmatrix}0&-sigma ^{2}sigma ^{2}&0end{bmatrix}},quad gamma ^{3}={egin{bmatrix}-isigma ^{1}&0&-isigma ^{1}end{bmatrix}},quad gamma ^{5}={egin{bmatrix}sigma ^{2}&0&-sigma ^{2}end{bmatrix}}.}

В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.

Тождества

Также для матриц Дирака выполняются тождества Фирца.

Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: