Спираль Галилея

Спираль Галилея — плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид:

ρ = α φ 2 − d , {displaystyle ho =alpha varphi ^{2}-d,} где d ⩾ 0. {displaystyle dgeqslant 0.}

Спираль Галилея можно представить как траекторию точки, равноускоренно движущейся по прямой, причём эта прямая равномерно вращается вокруг некоторой своей точки. Таким образом, уравнение можно переписать в обычных физических обозначениях:

{ ρ = 1 2 a t 2 + v 0 t + ρ 0 θ = ω t {displaystyle {egin{cases} ho ={frac {1}{2}}at^{2}+v_{0}t+ ho _{0} heta =omega tend{cases}}}

После поворота системы координат это уравнение можно привести к стандартному виду ρ = α φ 2 − d . {displaystyle ho =alpha varphi ^{2}-d.}

Кривая симметрична относительно полярной оси, в полюсе — двойная точка, касательные к которой образуют углы с полярной осью ± d / a . {displaystyle pm {sqrt {d/a}}.} На полярной оси расположено бесконечно много двойных точек, они находятся на расстояниях ρ = α k 2 π 2 − d {displaystyle ho =alpha k^{2}pi ^{2}-d} (где k = 1 , 2 , 3 , . . . {displaystyle k=1,2,3,...} ) от центра.

Уравнение криволинейных абсцисс: d s = a 2 + 2 b ( a + 2 b ) θ 2 + b 2 θ 4 d θ {displaystyle ds={sqrt {a^{2}+2b(a+2b) heta ^{2}+b^{2} heta ^{4}d heta }}}

Названа в честь Г. Галилея в связи с его работами по теории свободного падения тел. Действительно, если учитывать вращение Земли, то траектория камня, падающего с башни — это спираль Галилея.