Биметрические теории гравитации

Биметрические теория гравитации — альтернативные теории гравитации, в которых вместо одного метрического тензора используются два или более. Часто вторая метрика вводится только при высоких энергиях, в предположении, что скорость света может зависеть от энергии. Наиболее известными примерами биметрических теорий являются теория Розена и релятивистская теория гравитации (последняя — в канонической трактовке).

Биметрическая теория Розена

В общей теории относительности предполагается, что расстояние между двумя точками в пространстве-времени определяется метрическим тензором. Уравнения Эйнштейна используются затем для расчёта формы метрики на основании распределения энергии.

Натан Розен (1940) предложил в каждой точке пространства-времени ввести в дополнение к риманову метрическому тензору g i j {displaystyle g_{ij}} евклидов метрический тензор γ i j {displaystyle gamma _{ij}} . Таким образом, в каждой точке пространства-времени мы получаем две метрики:

d s 2 = g i j d x i d x j {displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}} d σ 2 = γ i j d x i d x j {displaystyle dsigma ^{2}=gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}

Первый метрический тензор g i j {displaystyle g_{ij}} описывает геометрию пространства-времени и, таким образом, гравитационное поле. Второй метрический тензор γ i j {displaystyle gamma _{ij}} относится к плоскому пространству-времени и описывает инерционные силы. Символы Кристоффеля, сформированные из g i j {displaystyle g_{ij}} и γ i j {displaystyle gamma _{ij}} , обозначим { j k i } {displaystyle {_{jk}^{i}}} и Γ j k i {displaystyle Gamma _{jk}^{i}} соответственно. Δ {displaystyle Delta } определим таким образом, чтобы

Δ j k i = { j k i } − Γ j k i                             ( 1 ) {displaystyle Delta _{jk}^{i}={_{jk}^{i}}-Gamma _{jk}^{i}~~~~~~~~~~~~~~(1)}

Теперь возникают два вида ковариантного дифференцирования: g {displaystyle g} -дифференцирование, основанное на g i j {displaystyle g_{ij}} — обозначается точкой с запятой (;), и 3-дифференцирование на основе γ i j {displaystyle gamma _{ij}} — обозначается символом / (обычные частные производные обозначаются запятой (,)). R i j σ λ {displaystyle R_{ijsigma }^{lambda }} и P i j σ λ {displaystyle P_{ijsigma }^{lambda }} будут тензорами кривизны, рассчитываемыми из g i j {displaystyle g_{ij}} и γ i j {displaystyle gamma _{ij}} соответственно. На основе вышеизложенного подхода, в том случае, когда γ i j {displaystyle gamma _{ij}} описывает плоскую пространственно-временную метрику, тензор кривизны P i j σ λ {displaystyle P_{ijsigma }^{lambda }} равен нулю.

Из (1) следует, что хотя { j k i } {displaystyle {_{jk}^{i}}} и Γ {displaystyle Gamma } не являются тензорами, но Δ {displaystyle Delta } — тензор, имеющий такую же форму, как { j k i } {displaystyle {_{jk}^{i}}} , за исключением того, что обычная частная производная заменяется 3-ковариантной производной. Простой расчёт приводит к

R i j k h = − Δ i j / k h + Δ i k / j h + Δ m j h Δ i k m − Δ m k h Δ i j m {displaystyle R_{ijk}^{h}=-Delta _{ij/k}^{h}+Delta _{ik/j}^{h}+Delta _{mj}^{h}Delta _{ik}^{m}-Delta _{mk}^{h}Delta _{ij}^{m}}

Каждый член в правой стороне этого соотношения является тензором. Видно, что от общей теории относительности, можно перейти к новой теории, заменив { j k i } {displaystyle {_{jk}^{i}}} на Δ {displaystyle Delta } , обычное дифференцирование на 3-ковариантное дифференцирование, − g {displaystyle {sqrt {-g}}} на g γ {displaystyle {sqrt {frac {g}{gamma }}}} , элемент интегрирования d 4 x {displaystyle d^{4}x} на − γ d 4 x {displaystyle {sqrt {-gamma }}d^{4}x} , где g = d e t ( g i j ) {displaystyle g=det(g_{ij})} , γ = d e t ( γ i j ) {displaystyle gamma =det(gamma _{ij})} и d 4 x = d x 1 d x 2 d x 3 d x 4 {displaystyle d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}} . Необходимо отметить, что, как только мы ввели γ i j {displaystyle gamma _{ij}} в теорию, то в нашем распоряжении оказывается большое число новых тензоров и скаляров. Таким образом, можно получить уравнения поля, отличающиеся от уравнений поля Эйнштейна.

Уравнение для геодезической в биметрической теории относительности (БТО) принимает форму

d 2 x d s 2 + Γ j k i d x j d s d x k d s + Δ j k i d x j d s d x k d s = 0                             ( 2 ) {displaystyle {frac {d^{2}x}{ds^{2}}}+Gamma _{jk}^{i}{frac {dx^{j}}{ds}}{frac {dx^{k}}{ds}}+Delta _{jk}^{i}{frac {dx^{j}}{ds}}{frac {dx^{k}}{ds}}=0~~~~~~~~~~~~~~(2)}

Из уравнений (1) и (2) видно, что можно считать, что Γ {displaystyle Gamma } описывает инерциальное поле, поскольку Γ {displaystyle Gamma } исчезает при помощи подходящего преобразования координат. Свойство же Δ {displaystyle Delta } быть тензором не зависит от каких-либо систем координат, и, следовательно, можно полагать, что Δ {displaystyle Delta } описывает постоянное гравитационное поле.

Розеном (1973) были найдены биметрические теории, удовлетворяющие принципу эквивалентности. В 1966 г. Розен показал, что введение плоской пространственной метрики в рамках общей теории относительности не только позволяет получить плотность энергии-импульса тензора гравитационного поля, но также позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Уравнение поля в БТО, полученное из вариационного принципа

K j i = N j i − 1 2 δ j i N = − 8 π κ T j i                             ( 3 ) {displaystyle K_{j}^{i}=N_{j}^{i}-{frac {1}{2}}delta _{j}^{i}N=-8pi kappa T_{j}^{i}~~~~~~~~~~~~~~(3)}

где

N j i = 1 2 γ α β ( g h i g h j / α ) / β {displaystyle N_{j}^{i}={frac {1}{2}}gamma ^{alpha eta }(g^{hi}g_{hj/alpha })_{/eta }}

или

N j i = γ α β { ( g h i g h j , α ) , β − ( g h i g m j Γ h α m ) , β } − γ α β ( Γ j α i ) , β + Γ λ β i [ g h λ g h j , α − g h λ g m j Γ h α m − Γ j α λ ] − Γ j β λ [ g h i g h λ , α − g h i g m λ Γ h α m − Γ λ α i ] {displaystyle N_{j}^{i}=gamma ^{alpha eta }left{(g^{hi}g_{hj,alpha }),eta -(g^{hi}g_{mj}Gamma _{halpha }^{m}),eta ight}-gamma ^{alpha eta }(Gamma _{jalpha }^{i}),eta +Gamma _{lambda eta }^{i}[g^{hlambda }g_{hj},alpha -g^{hlambda }g_{mj}Gamma _{halpha }^{m}-Gamma _{jalpha }^{lambda }]-Gamma _{jeta }^{lambda }[g^{hi}g_{hlambda },alpha -g^{hi}g_{mlambda }Gamma _{halpha }^{m}-Gamma _{lambda alpha }^{i}]} + Γ α β λ [ g h i g h j , λ − g h i g m j Γ h λ m − Γ j λ i ] {displaystyle +Gamma _{alpha eta }^{lambda }[g^{hi}g_{hj},lambda -g^{hi}g_{mj}Gamma _{hlambda }^{m}-Gamma _{jlambda }^{i}]} N = g i j N i j , κ = g γ , {displaystyle N=g^{ij}N_{ij},kappa ={sqrt {frac {g}{gamma }}},}

и T j i {displaystyle T_{j}^{i}} — тензор энергии-импульса. Вариационный принцип приводит также к связи

T j ; i i = 0. {displaystyle T_{j;i}^{i}=0.}

Поэтому из (3)

K j ; i i = 0 , {displaystyle K_{j;i}^{i}=0,}

что подразумевает, что пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической по отношению к g i j {displaystyle g_{ij}} . Физические следствия такой теории, впрочем, не отличаются от общей теории относительности.

При ином выборе исходных уравнений биметрические теории и ОТО различаются в следующих случаях:

• Распространение электромагнитных волн
• Внешнее поле звёзд высокой плотности
• Распространение интенсивных гравитационных волн через сильное статическое гравитационное поле.