Формулы Мольвейде

Формулы Мольвейде — тригонометрические зависимости, выражающие отношения между длинами сторон и значениями углов при вершинах некоторого треугольника, открытые К. Б. Моллвейде.

Описание

Формулы Мольвейде имеют следующий вид:

a + b c = cos A − B 2 sin C 2 ; {displaystyle {frac {a+b}{c}}={frac {operatorname {cos} ;{frac {A-B}{2}}}{operatorname {sin} ;{frac {C}{2}}}};} a − b c = sin A − B 2 cos C 2 , {displaystyle {frac {a-b}{c}}={frac {operatorname {sin} ;{frac {A-B}{2}}}{operatorname {cos} ;{frac {C}{2}}}},}

где A, B, C — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и a, b, c — длины сторон, соответственно между вершинами B и C, C и A, A и B. Формулы названы в честь немецкого математика Карла Мольвейде. Формулы Мольвейде удобно использовать при решении треугольника по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне. Аналогичные соотношения в сферической тригонометрии носят название формул Деламбра.

Доказательство

Рассмотрим вывод только первого соотношения, поскольку доказательство второго аналогично.

a + b c = cos A − B 2 sin C 2 ; {displaystyle {frac {a+b}{c}}={frac {operatorname {cos} ;{frac {A-B}{2}}}{operatorname {sin} ;{frac {C}{2}}}};}

Из теоремы синусов:

a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C {displaystyle {frac {a}{sin A}}={frac {b}{sin B}}={frac {c}{sin C}}}

имеем:

a c = sin ⁡ A sin ⁡ C {displaystyle {frac {a}{c}}={frac {sin A}{sin C}}} b c = sin ⁡ B sin ⁡ C {displaystyle {frac {b}{c}}={frac {sin B}{sin C}}}

откуда следует:

a + b c = sin ⁡ A + sin ⁡ B sin ⁡ C {displaystyle {frac {a+b}{c}}={frac {sin A+sin B}{sin C}}}

С учетом формулы двойного угла для синуса:

sin ⁡ C = 2 sin ⁡ C 2 cos ⁡ C 2 {displaystyle sin C=2sin {frac {C}{2}}cos {frac {C}{2}}} ,

а также формулы для суммы синусов:

sin ⁡ A + sin ⁡ B = 2 sin ⁡ A + B 2 cos ⁡ A − B 2 {displaystyle sin A+sin B=2sin {frac {A+B}{2}}cos {frac {A-B}{2}}}

имеем:

a + b c = sin ⁡ A + sin ⁡ B sin ⁡ C = sin ⁡ A + B 2 cos ⁡ A − B 2 sin ⁡ C 2 cos ⁡ C 2 {displaystyle {frac {a+b}{c}}={frac {sin A+sin B}{sin C}}={frac {sin {frac {A+B}{2}}cos {frac {A-B}{2}}}{sin {frac {C}{2}}cos {frac {C}{2}}}}}

По теореме о сумме углов треугольника:

C = π − ( A + B ) {displaystyle C=pi -(A+B)}

откуда с учётом формулы приведения для косинуса следует, что:

cos ⁡ C 2 = cos ⁡ π − ( A + B ) 2 = sin ⁡ A + B 2 {displaystyle cos {frac {C}{2}}=cos {frac {pi -(A+B)}{2}}=sin {frac {A+B}{2}}}

как следствие имеем:

a + b c = cos ⁡ A − B 2 sin ⁡ C 2 {displaystyle {frac {a+b}{c}}={frac {cos {frac {A-B}{2}}}{sin {frac {C}{2}}}}}

что и требовалось доказать.

Применение

Поделив отдельно правые и левые части последних формул, сразу получим теорему тангенсов