Египетский математический кожаный свиток

Египетский математический кожаный свиток — древнеегипетский кожаный свиток размером 25×43 см, приобретённый Александром Генри Риндом в 1858 году. В 1864 году вместе с папирусом Ахмеса он попал в Британский музей, но до 1927 года не подвергался химическому воздействию и не разворачивался.

Текст написан справа налево иератикой периода Среднего царства и датируется XVII веком до н. э..

Содержание

Кожаный свиток составлен для вычисления египетских дробей и содержит 26 сумм аликвотных дробей (то есть дробей с числителем 1), которые равны другой аликвотной дроби. Суммы перечислены в двух столбцах, в следующих двух столбцах содержатся точно такие же суммы.

Из 26 перечисленных сумм 10 — это числа Ока Гора: 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} , 1 4 {displaystyle {frac {1}{4}}} (дважды), 1 8 {displaystyle {frac {1}{8}}} (трижды), 1 16 {displaystyle {frac {1}{16}}} (дважды), 1 32 {displaystyle {frac {1}{32}}} , 1 64 {displaystyle {frac {1}{64}}} , преобразованные из египетских дробей. Есть ещё семь сумм, в которых чётные знаменатели пересчитаны из египетских дробей: 1 6 {displaystyle {frac {1}{6}}} (указано дважды, но единожды неверно), 1 10 {displaystyle {frac {1}{10}}} , 1 12 {displaystyle {frac {1}{12}}} , 1 14 {displaystyle {frac {1}{14}}} , 1 20 {displaystyle {frac {1}{20}}} и 1 30 {displaystyle {frac {1}{30}}} . Например, три преобразования 1 8 {displaystyle {frac {1}{8}}} следовали за одним или двумя масштабными множителями, как альтернативой:

1 8 × 3 3 = 3 24 = 2 + 1 24 = 1 12 + 1 24 {displaystyle {frac {1}{8}} imes {frac {3}{3}}={frac {3}{24}}={frac {2+1}{24}}={frac {1}{12}}+{frac {1}{24}}}

1 8 × 5 5 = 5 40 = 4 + 1 40 = 1 10 + 1 40 {displaystyle {frac {1}{8}} imes {frac {5}{5}}={frac {5}{40}}={frac {4+1}{40}}={frac {1}{10}}+{frac {1}{40}}}

1 8 × 25 25 = 25 200 = 8 + 17 200 = 1 25 + ( 17 200 × 6 6 ) = 1 25 + 102 1200 = 1 25 + 80 + 16 + 6 1200 = 1 25 + 1 15 + 1 75 + 1 200 {displaystyle {frac {1}{8}} imes {frac {25}{25}}={frac {25}{200}}={frac {8+17}{200}}={frac {1}{25}}+({frac {17}{200}} imes {frac {6}{6}})={frac {1}{25}}+{frac {102}{1200}}={frac {1}{25}}+{frac {80+16+6}{1200}}={frac {1}{25}}+{frac {1}{15}}+{frac {1}{75}}+{frac {1}{200}}}

Наконец, 9 сумм с нечётными знаменателями переведены из египетских дробей: 2 3 {displaystyle {frac {2}{3}}} , 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}} (дважды), 1 5 {displaystyle {frac {1}{5}}} , 1 7 {displaystyle {frac {1}{7}}} , 1 9 {displaystyle {frac {1}{9}}} , 1 11 {displaystyle {frac {1}{11}}} , 1 13 {displaystyle {frac {1}{13}}} и 1 15 {displaystyle {frac {1}{15}}} .

Эксперты Британского музея не нашли ни введения, ни описания того, как и почему были рассчитаны серии эквивалентных долей. Эквивалентные дроби связаны с 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}} , 1 4 {displaystyle {frac {1}{4}}} , 1 8 {displaystyle {frac {1}{8}}} и 1 16 {displaystyle {frac {1}{16}}} . Произошла ошибка, связанная с последней 1 15 {displaystyle {frac {1}{15}}} серией дробей. Серия 1 15 {displaystyle {frac {1}{15}}} названа равной 1 6 {displaystyle {frac {1}{6}}} . Другая серьёзная ошибка связана с 1 13 {displaystyle {frac {1}{13}}} , которую эксперты 1927 года не попытались решить.

Современный анализ

Оригинальные математические тексты никогда не объясняют, откуда берутся вычисления и формулы. То же касается и кожаного свитка. Учёные предположили, что методы древних египтян, возможно, использовались для построения таблицы дробей в свитке, Папирусе Ахмеса и Математическом папирусе из Лахуна. Оба типа таблиц использовались, чтобы помочь при вычислениях дробей и составления единиц измерения.

В кожаном свитке имеются группы схожих дробей. Например, строки 5 и 6 легко объединяются в уравнение 1 3 + 1 6 = 1 2 {displaystyle {frac {1}{3}}+{frac {1}{6}}={frac {1}{2}}} . Легко вывести строки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 и 26, разделив это уравнение на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 и 32 соответственно.

Некоторые проблемы поддаются решению с помощью алгоритма, который включает умножение числителя и знаменателя на один и тот же член, а затем дальнейшее деление полученного уравнения:

1 p q = 1 N × N p q {displaystyle {frac {1}{pq}}={frac {1}{N}} imes {frac {N}{pq}}}

Этот метод приводит к решению дроби 1 8 {displaystyle {frac {1}{8}}} из свитка, где N = 25 (с использованием современных математических обозначений):

1 8 = 1 25 × 25 8 = 1 5 × 25 40 = 1 5 × ( 3 5 + 1 40 ) = 1 5 × ( 1 5 + 2 5 + 1 40 ) = 1 5 × ( 1 5 + 1 3 + 1 15 + 1 40 ) = 1 25 + 1 15 + 1 75 + 1 200 {displaystyle {frac {1}{8}}={frac {1}{25}} imes {frac {25}{8}}={frac {1}{5}} imes {frac {25}{40}}={frac {1}{5}} imes left({frac {3}{5}}+{frac {1}{40}} ight)={frac {1}{5}} imes left({frac {1}{5}}+{frac {2}{5}}+{frac {1}{40}} ight)={frac {1}{5}} imes left({frac {1}{5}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{15}}+{frac {1}{40}} ight)={frac {1}{25}}+{frac {1}{15}}+{frac {1}{75}}+{frac {1}{200}}}

С момента прочтения свитка в 1927 году он расценивается как обучающее пособие писцам. Писец тренировался в преобразовании рациональных чисел 1/p и 1/pq в равные дроби.

Хронология

Следующая хронология показывает несколько этапов, которые ознаменовали недавний прогресс в познании расчётов свитка, связанного с таблицей 2/n Математического папируса Ринда.

• 1895 — Гульч предположил, что все серии 2/p папируса закодированы кратными частями.
• 1927 — Гланвилл пришёл к выводу, что арифметика кожаного свитка сводилась к сложению.
• 1929 — по мнению Фогеля, кожаный свиток важнее папируса Ринда, несмотря на то, что содержит лишь 25 рядов дробей.
• 1950 — Брёйнс независимо подтверждает выводы Гульча.
• 1972 — Джиллингс нашёл решение наиболее простой проблемы папируса Ринда — серия 2/pq.
• 1982 — Кнорр идентифицирует дроби папируса Ринда 2/35, 2/91 и 2/95 как исключения из 2/pq.
• 2002 — Гарднер выделяет пять отдельных структур свитка.