Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Неравенство Чебышёва для сумм

Дата: 6-11-2020, 03:31 » Раздел: Статьи  » 

Неравенство Чебышёва для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если

a 1 ⩾ a 2 ⩾ ⋯ ⩾ a n {displaystyle a_{1}geqslant a_{2}geqslant cdots geqslant a_{n}}

и

b 1 ⩾ b 2 ⩾ ⋯ ⩾ b n , {displaystyle b_{1}geqslant b_{2}geqslant cdots geqslant b_{n},}

то

1 n ∑ k = 1 n a k b k ⩾ ( 1 n ∑ k = 1 n a k ) ( 1 n ∑ k = 1 n b k ) . {displaystyle {1 over n}sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}geqslant left({1 over n}sum _{k=1}^{n}a_{k} ight)left({1 over n}sum _{k=1}^{n}b_{k} ight).}

Аналогично, если

a 1 ⩾ a 2 ⩾ ⋯ ⩾ a n {displaystyle a_{1}geqslant a_{2}geqslant cdots geqslant a_{n}}

и

b 1 ⩽ b 2 ⩽ ⋯ ⩽ b n , {displaystyle b_{1}leqslant b_{2}leqslant cdots leqslant b_{n},}

то

1 n ∑ k = 1 n a k b k ⩽ ( 1 n ∑ k = 1 n a k ) ( 1 n ∑ k = 1 n b k ) . {displaystyle {1 over n}sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}leqslant left({1 over n}sum _{k=1}^{n}a_{k} ight)left({1 over n}sum _{k=1}^{n}b_{k} ight).}

Доказательство

Неравенство Чебышёва для сумм легко выводится из перестановочного неравенства:

Предположим, что

a 1 ⩾ a 2 ⩾ ⋯ ⩾ a n {displaystyle a_{1}geqslant a_{2}geqslant cdots geqslant a_{n}}

и

b 1 ⩾ b 2 ⩾ ⋯ ⩾ b n . {displaystyle b_{1}geqslant b_{2}geqslant cdots geqslant b_{n}.}

В виду перестановочного неравенства выражение

a 1 b 1 + ⋯ + a n b n {displaystyle a_{1}b_{1}+cdots +a_{n}b_{n}}

является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства

a 1 b 1 + ⋯ + a n b n = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n {displaystyle a_{1}b_{1}+cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}} a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ⩾ a 1 b 2 + a 2 b 3 + ⋯ + a n b 1 {displaystyle a_{1}b_{1}+cdots +a_{n}b_{n}geqslant a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+cdots +a_{n}b_{1}} a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ⩾ a 1 b 3 + a 2 b 4 + ⋯ + a n b 2 {displaystyle a_{1}b_{1}+cdots +a_{n}b_{n}geqslant a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+cdots +a_{n}b_{2}} ⋮ {displaystyle vdots } a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ⩾ a 1 b n + a 2 b 1 + ⋯ + a n b n − 1 {displaystyle a_{1}b_{1}+cdots +a_{n}b_{n}geqslant a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+cdots +a_{n}b_{n-1}}

получаем

n ( a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ) ⩾ ( a 1 + ⋯ + a n ) ( b 1 + ⋯ + b n ) ; {displaystyle n(a_{1}b_{1}+cdots +a_{n}b_{n})geqslant (a_{1}+cdots +a_{n})(b_{1}+cdots +b_{n});}

или, разделив на n 2 {displaystyle n^{2}} :

( a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ) n ⩾ ( a 1 + ⋯ + a n ) n ⋅ ( b 1 + ⋯ + b n ) n . {displaystyle {frac {(a_{1}b_{1}+cdots +a_{n}b_{n})}{n}}geqslant {frac {(a_{1}+cdots +a_{n})}{n}}cdot {frac {(b_{1}+cdots +b_{n})}{n}}.}

Непрерывный случай

Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышёва для сумм:

Если f(x) и g(x) — это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то

∫ 0 1 f ( x ) g ( x ) d x ⩾ ∫ 0 1 f ( x ) d x ∫ 0 1 g ( x ) d x . {displaystyle int limits _{0}^{1}f(x)g(x),dxgeqslant int limits _{0}^{1}f(x),dxint limits _{0}^{1}g(x),dx.}
(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: