Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Критерий Сильвестра

Дата: 22-09-2021, 15:00 » Раздел: Статьи  » 

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

A = | | a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n … … … … a n 1 a n 2 … a n n | | . {displaystyle A=left|{egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&ldots &a_{1n}a_{21}&a_{22}&ldots &a_{2n}ldots &ldots &ldots &ldots a_{n1}&a_{n2}&ldots &a_{nn}end{vmatrix}} ight|.}

Тогда эта форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры Δ i {displaystyle Delta _{i}} размеров i × i, где i пробегает все целые числа от 1 до n включительно, положительны; а если знаки Δ i {displaystyle Delta _{i}} чередуются, причём Δ 1 < 0 {displaystyle Delta _{1}<0} , то только в этом случае форма отрицательно определена. Здесь угловыми минорами матрицы A {displaystyle A} называются определители вида

Δ i = | a 11 a 12 … a 1 i a 21 a 22 … a 2 i … … … … a i 1 a i 2 … a i i | , {displaystyle Delta _{i}={egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&ldots &a_{1i}a_{21}&a_{22}&ldots &a_{2i}ldots &ldots &ldots &ldots a_{i1}&a_{i2}&ldots &a_{ii}end{vmatrix}},}

все из которых содержат число a11.

Доказательство

Критерий положительной определённости квадратичной формы

Критерий гласит, что

Его доказательство основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство необходимости

Имеется положительно определённая квадратичная форма. Тогда j-й диагональный элемент положителен, так как k(x) > 0[прояснить] в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-й. При приведении матрицы к каноническому виду строки не нужно будет переставлять — в итоге знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, а миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях) у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

Доказательство достаточности

Дана симметричная квадратичная форма, все угловые миноры которой положительны. Рассмотрим сначала первый диагональный элемент в каноническом виде: его знак определяется первым угловым минором. Далее, знак числа Mi+1/Mi [прояснить] определяет знак (i + 1)-го элемента в диагональном виде. Получается, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.

Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица A {displaystyle A} является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица − A {displaystyle -A} является положительно определённой. При замене матрицы A {displaystyle A} на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же в силу основных свойств определителей.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: