Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Теория Черна — Саймонса

Дата: 3-09-2021, 16:00 » Раздел: Статьи  » 

Теория Черна — Саймонса — это трёхмерная топологическая квантовая теория поля типа Шварца, предложенная Эдвардом Виттеном. Названа в честь геометров Чжень Синшэня (Черна) и Джеймса Саймонса. Теория получила такое название, потому что её действие пропорционально форме Черна — Саймонса.

В физике конденсированного состояния теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как полином Джонса.

Теория Черна — Саймонса определяется выбором простой группы Ли G, называемой калибровочной группой теории, и числом k, которое входит как множитель в действие и называется уровнем теории. Действие теории зависит от выбора калибровки, но производящая функция квантовой теории поля однозначно определена при целочисленном значении уровня.

Классическая теория

Теория Черна — Саймонса может быть задана на произвольном топологическом 3-многообразии M с границей или без. Так как эта теория типа Шварца, нет необходимости во введении метрики на M.

Теория Черна — Саймонса — это калибровочная теория, то есть классические полевые конфигурации в теории на M с калибровочной группой G описываются главным G-расслоением над M. Форму связности главного G-расслоения над M обозначим через A : M → g {displaystyle A:M o g} , она принимает значения в алгебре Ли g. В общем случае связность A определяется на отдельных картах, значения A на разных картах связаны калибровочными преобразованиями. Калибровочные преобразования характеризуются тем, что ковариантная производная D = d + A {displaystyle D=d+A} преобразуется в присоединённом представлении G.

Тогда действие записывается в виде:

S = k 4 π ∫ M t r ( A ∧ d A + 2 3 A ∧ A ∧ A ) {displaystyle S={frac {k}{4pi }}int _{M}mathrm {tr} (Awedge dA+{frac {2}{3}}Awedge Awedge A)}

Введём кривизну связности

F = D A = d A + A ∧ A ∈ Ω 2 ( M , g ) {displaystyle F=DA=dA+Awedge Ain Omega ^{2}(M,g)}

Тогда уравнение движения примет вид

δ S δ A = 0 = k 2 π F {displaystyle {frac {delta S}{delta A}}=0={frac {k}{2pi }}F}

Решениями являются плоские связности, которые определяются голономиями вокруг нестягиваемых циклов на M. Плоские связности находятся в однозначном соответствии с классами эквивалентности гомоморфизмов из фундаментальной группы M в калибровочную группу G.

Хотя действие и зависит от калибровки, производящий функционал в квантовой теории хорошо определён при целом k.

Если у M есть граница N = ∂ M {displaystyle N=partial M} , то есть дополнительные данные, которые описывают выбор тривиализации главного G-расслоения на N. Такой выбор задаёт отображение из N в G. Динамика этого отображения описывается WZW-моделью на N с уровнем k.

Рассмотрим калибровочное преобразование действия Черна — Саймонса. При калибровочном преобразовании g форма связности A преобразуется как

A μ → g ∗ A = g − 1 A μ g + g − 1 ∂ μ g {displaystyle A_{mu } o g^{*}A=g^{-1}A_{mu }g+g^{-1}partial _{mu }g}

Для действия Черна — Саймонса имеем

S ( g ∗ A ) = S ( A ) + k 4 π ∫ ∂ M T r ( A ∧ d g g − 1 ) − 2 π k ∫ M g ∗ σ {displaystyle S(g^{*}A)=S(A)+{frac {k}{4pi }}int _{partial M}mathrm {Tr} (Awedge dg;g^{-1})-2pi kint _{M}g^{*}sigma }

Здесь

σ = 1 24 π 2 T r ( μ ∧ μ ∧ μ ) {displaystyle sigma ={frac {1}{24pi ^{2}}}mathrm {Tr} (mu wedge mu wedge mu )}

где μ = X − 1 d X , X ∈ G {displaystyle mu =X^{-1}dX,Xin G} — форма Маурера — Картана.

Получаем добавку в действие, определённую на границе. Она выглядит как член Весса — Зумино. Из требования калибровочной инвариантности квантовых корреляторов получаем квантование k, так как функциональный интеграл должен быть однозначно определён.

Квантование

При каноническом квантовании теории Черна — Саймонса состояние определяется на каждой двумерной поверхности Σ ⊂ M {displaystyle Sigma subset M} . Как в любой квантовой теории поля, состояния соответствуют лучам в гильбертовом пространстве. Так как мы имеем дело с топологической теорией поля типа Шварца, то у нас нет предопределенного выделенного времени, поэтому Σ {displaystyle Sigma } — произвольная поверхность Коши.

Коразмерность Σ {displaystyle Sigma } равна 1, поэтому можно разрезать M {displaystyle M} вдоль Σ {displaystyle Sigma } и получить многообразие с границей, на котором классическая динамика описывается моделью Весса — Зумино — Новикова — Виттена. Виттен показал, что это соответствие сохраняется и в квантовой механике. То есть гильбертово пространство состояний всегда конечномерно и может быть отождествлено с пространством конформных блоков G {displaystyle G} -WZW-модели с уровнем k {displaystyle k} . Конформные блоки — это локально голоморфные и антиголоморфные множители, произведения которых складываются в корреляционные функции двумерной конформной теории поля.

Например, если Σ = S 2 {displaystyle Sigma =S^{2}} , то гильбертово пространство одномерно и существует только одно состояние. При Σ = T 2 {displaystyle Sigma =T^{2}} состояния соответствуют интегрируемым представлениям уровня k {displaystyle k} аффинного расширения алгебры Ли g {displaystyle g} . Рассмотрение поверхностей более высокого рода не требуется для решения теории Черна — Саймонса.

Наблюдаемые

Наблюдаемые в теории Черна — Саймонса — это n {displaystyle n} -точечные функции калибровочно-инвариантных операторов, чаще всего рассматривают петли Вильсона. Петля Вильсона — это голономия вокруг кольца в M {displaystyle M} , вычисленная в некотором представлении R {displaystyle R} группы G {displaystyle G} . Так как мы будем рассматривать произведения петель Вильсона, то мы можем считать представления неприводимыми.

⟨ W R ( K ) ⟩ = Tr R P exp ⁡ i ∮ K A {displaystyle langle W_{R}(K) angle ={ ext{Tr}}_{R},P,exp {ioint _{K}A}}

Здесь A {displaystyle A} - 1-форма связности, мы берем главное значение интеграла по Коши, P exp {displaystyle Pexp } — экспонента, упорядоченная вдоль пути.

Рассмотрим зацепление L {displaystyle L} в M {displaystyle M} , которое представляет собой набор из l {displaystyle l} несвязных циклов. Особенно интересна l {displaystyle l} -точечная корреляционная функция, представляющая собой произведение петель Вильсона в фундаментальном представлении G {displaystyle G} вокруг этих циклов. Эту корреляционную функцию можно нормировать, разделив её на 0-точечную функцию (статсумму Z {displaystyle Z} ).

Если M {displaystyle M} — сфера, то такие нормированные функции пропорциональны известным полиномам (инвариантам) узлов. Например, при G = U ( N ) {displaystyle G=U(N)} теория Черна — Саймонса с уровнем k {displaystyle k} дает

sin ⁡ ( π / ( k + N ) ) sin ⁡ ( π N / ( k + N ) ) × HOMFLY polynomial {displaystyle {frac {sin(pi /(k+N))}{sin(pi N/(k+N))}} imes ;{mbox{HOMFLY polynomial}}}

При N = 2 {displaystyle N=2} полином HOMFLY переходит в полином Джонса. В случае S O ( N ) {displaystyle SO(N)} получается полином Кауффмана.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: