Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Систола поверхности

Дата: 15-08-2021, 02:00 » Раздел: Статьи  » 

Систолические неравенства для кривых на поверхностях первым изучал Чарльз Лёвнер в 1949 (не опубликовано; см. примечание в конце статьи Пу 1952 года). Если дана замкнутая поверхность, её систола, обозначаемая как sys, определяется как петля наименьшей длины, которая не может быть стянута в точку на поверхности. Систолическая площадь метрики определяется как отношение площади и sys2. Систолическое отношение SR (от английского Systolic Ratio) равно обратной величине, то есть sys2/площадь. См. также статью Введение в систолическую геометрию.

Тор

В 1949 году Лёвнер доказал неравенство для метрик на торе T2, а именно, что систолическое отношение SR(T2) ограничено сверху величиной 2 / 3 {displaystyle 2/{sqrt {3}}} , с равенством на плоском (постоянной кривизны) случае равностороннего тора (см. Шестиугольная решётка).

Вещественная проективная плоскость

Похожий результат даёт неравенство Пу для вещественной проективной плоскости, полученный в 1952 году Пу Баомином с верхней границей π / 2 {displaystyle pi /2} для систолического отношения SR(RP2), которое также превращается в равенство в случае постоянной кривизны.

Бутылка Кляйна

Для бутылки Кляйна K Бавард (1986) получил оптимальную верхнюю границу π / 8 {displaystyle pi /{sqrt {8}}} для систолического отношения:

S R ( K ) ⩽ π 8 , {displaystyle mathrm {SR} (K)leqslant {frac {pi }{sqrt {8}}},}

на основе работы Блаттера 1960-х годов.

Род 2

Ориентируемая поверхность рода 2 удовлетворяет границе Лёвнера S R ( 2 ) ⩽ 2 3 {displaystyle mathrm {SR} (2)leqslant { frac {2}{sqrt {3}}}} , см. Статью Катца и Сабуру. Неизвестно, удовлетворяет ли любая поверхность с положительным родом границе Лёвнера. Есть гипотеза, что все они удовлетворяют. Ответ положителен для рода 20 и выше.

Произвольный род

Для замкнутой поверхности рода g Хебда и Бураго (1980) показали, что систолическое отношение SR(g) ограничено сверху константой 2. Тремя годами позже Михаил Громов нашёл верхнюю границу SR(g) с точностью до постоянного множителя

( log ⁡ g ) 2 g . {displaystyle {frac {(log g)^{2}}{g}}.}

Похожая нижняя граница (с аналогичной константой) была получена Бузером и Сарнаком, а именно: они привели арифметические гиперболические римановы поверхности с систолами, дающими log ⁡ ( g ) {displaystyle log(g)} с точностью до постоянного множителя. Заметим, что площадь равна 4 π ( g − 1 ) {displaystyle 4pi (g-1)} по теореме Гаусса — Бонне, так что SR(g) ведёт себя с точностью до постоянного множителя как ( log ⁡ g ) 2 g {displaystyle { frac {(log g)^{2}}{g}}} .

Изучение для большого рода g {displaystyle g} асимптотического поведения систолы гиперболических поверхностей раскрывает несколько интересных констант. Так, поверхности Гурвица Σ g {displaystyle Sigma _{g}} , определённые башней главных конгруэнцподгрупп группы гиперболических треугольников (2,3,7), удовлетворяют границе

s y s ( Σ g ) ⩾ 4 3 log ⁡ g , {displaystyle mathrm {sys} (Sigma _{g})geqslant {frac {4}{3}}log g,}

которая получается из анализа порядка кватернионов Гурвица. Похожая граница выполняется для более общих арифметических фуксовых групп. Этот результат 2007 года Михаила Гершевича Каца, Мэри Шапс и Узи Вишне улучшает неравенство Питера Сарнака и Питера Бузера 1994 года для случая арифметических групп, определённых над Q {displaystyle mathbb {Q} } , которое содержало ненулевую аддитивную постоянную. Для поверхностей Гурвица главного типа конгруэнтности систолическое отношение SR(g) асимптотически стремится к

4 9 π ( log ⁡ g ) 2 g . {displaystyle {frac {4}{9pi }}{frac {(log g)^{2}}{g}}.}

При использовании неравенства энтропии Катока была найдена следующая асимптотическая верхняя граница для SR(g):

( log ⁡ g ) 2 π g , {displaystyle {frac {(log g)^{2}}{pi g}},}

см. также статью Катца. Комбинируя две оценки, получаем жёсткие границы систолического отношения поверхностей.

Сфера

Имеется также версия неравенства для метрик на сфере для инварианта L, определённого как наименьшая длина замкнутой геодезической метрики. В 1980 году Громов высказал гипотезу, что для отношения площадь/L2 нижней границей является 1 2 3 {displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {3}}} . Нижнюю границу в 1/961, полученную Кроке в 1988 году была недавно улучшена Набутовским, Ротманом и Сабуру.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: