Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Квадрат (алгебра)

Дата: 23-07-2021, 17:00 » Раздел: Статьи  » 

Квадрат числа x {displaystyle x} — результат умножения числа на себя: x ⋅ x {displaystyle xcdot x} . Обозначение: x 2 {displaystyle x^{2}} .

Вычисление x 2 {displaystyle x^{2}} — математическая операция, называемая возведением в квадрат. Эта операция представляет собой частный случай возведения в степень, а именно — возведение числа x {displaystyle x} в степень 2.

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …

Исторически натуральные числа из этой последовательности называли «квадратными».

Способы представления

Квадрат натурального числа n {displaystyle n} можно представить в виде суммы первых n {displaystyle n} нечетных чисел:

1: 1 = 1 {displaystyle 1=1}
2: 4 = 1 + 3 {displaystyle 4=1+3}

7: 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 {displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
n 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + … + ( n − 1 ) + ( n − 1 ) + n {displaystyle n^{2}=1+1+2+2+ldots +(n-1)+(n-1)+n}
Пример:

1: 1 = 1 {displaystyle 1=1}
2: 4 = 1 + 1 + 2 {displaystyle 4=1+1+2}

4: 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 {displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}

Сумма квадратов первых n {displaystyle n} натуральных чисел вычисляется по формуле:
∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {displaystyle sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+ldots +n^{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

Вывод

Способ 1, метод приведения:

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до n + 1 {displaystyle n+1} :
∑ k = 1 n k 3 + ( n + 1 ) 3 = ∑ k = 0 n ( k + 1 ) 3 = ∑ k = 0 n ( k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 ) = ∑ k = 0 n k 3 + ∑ k = 0 n 3 k 2 + ∑ k = 0 n 3 k + ∑ k = 0 n 1 = ∑ k = 0 n k 3 + 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ∑ k = 0 n k + ∑ k = 0 n 1 {displaystyle sum _{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}=sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=sum _{k=0}^{n}k^{3}+sum _{k=0}^{n}3k^{2}+sum _{k=0}^{n}3k+sum _{k=0}^{n}1=sum _{k=0}^{n}k^{3}+3sum _{k=0}^{n}k^{2}+3sum _{k=0}^{n}k+sum _{k=0}^{n}1}
Получим:
( n + 1 ) 3 = 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ∑ k = 0 n k + ∑ k = 0 n 1 = 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ( n + 1 ) n 2 + ( n + 1 ) {displaystyle (n+1)^{3}=3sum _{k=0}^{n}k^{2}+3sum _{k=0}^{n}k+sum _{k=0}^{n}1=3sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)}
Умножим на 2 и перегруппируем:
6 ∑ k = 0 n k 2 = 2 ( n + 1 ) 3 − 3 ( n + 1 ) n − 2 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) ( 2 ( n + 1 ) 2 − 3 n − 2 ) = ( n + 1 ) ( 2 n 2 + n ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) {displaystyle 6sum _{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)}
∑ k = 0 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {displaystyle sum _{k=0}^{n}k^{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} (В рассуждениях использована формула: ∑ k = 0 n k = ( n + 1 ) n 2 {displaystyle sum _{k=0}^{n}k={frac {(n+1)n}{2}}} , вывод которой аналогичен приведенному)

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени N {displaystyle N} может быть выражена как функция N + 1 {displaystyle N+1} степени. Исходя из этого факта предположим:
∑ k = 0 n k 2 = f ( n ) = A n 3 + B n 2 + C n + D {displaystyle sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D}
f ( 0 ) = 0 ; f ( 1 ) = 1 ; f ( 2 ) = 5 ; f ( 3 ) = 14 {displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14}
Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:
{ 0 A + 0 B + 0 C + D = 0 A + B + C + D = 1 8 A + 4 B + 2 C + D = 5 27 A + 9 B + 3 C + D = 14 {displaystyle {egin{cases}0A+0B+0C+D=0A+B+C+D=18A+4B+2C+D=527A+9B+3C+D=14end{cases}}} Решив её, получим A = 1 3 , B = 1 2 , C = 1 6 , D = 0 {displaystyle A={frac {1}{3}},B={frac {1}{2}},C={frac {1}{6}},D=0}
Таким образом:
∑ k = 0 n k 2 = f ( n ) = 1 3 n 3 + 1 2 n 2 + 1 6 n + 0 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {displaystyle sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={frac {1}{3}}n^{3}+{frac {1}{2}}n^{2}+{frac {1}{6}}n+0={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

( a + b i ) 2 = ( a 2 − b 2 ) + 2 a b i . {displaystyle left(a+bi ight)^{2}=left(a^{2}-b^{2} ight)+2abi.}

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

( r ( cos ⁡ ϕ + i sin ⁡ ϕ ) ) 2 = r 2 ( cos ⁡ 2 ϕ + i sin ⁡ 2 ϕ ) . {displaystyle left(rleft(cos phi +isin phi ight) ight)^{2}=r^{2}left(cos {2phi }+isin {2phi } ight).}

Геометрический смысл

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: