Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Доверительный интервал

Дата: 4-07-2021, 13:00 » Раздел: Статьи  » 

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, более предпочтительной при небольшом объёме выборки, чем точечная. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Доверительным называется интервал, в который попадают измеренные в эксперименте значения, соответствующие доверительной вероятности.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера.

Определение

Доверительным интервалом параметра θ {displaystyle heta } распределения случайной величины X {displaystyle X} с уровнем доверия p, порождённым выборкой ( x 1 , … , x n ) {displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})} , называется интервал с границами l ( x 1 , … , x n ) {displaystyle l(x_{1},ldots ,x_{n})} и u ( x 1 , … , x n ) {displaystyle u(x_{1},ldots ,x_{n})} , которые являются реализациями случайных величин L ( X 1 , … , X n ) {displaystyle L(X_{1},ldots ,X_{n})} и U ( X 1 , … , X n ) {displaystyle U(X_{1},ldots ,X_{n})} , таких, что

P ( L ⩽ θ ⩽ U ) = p {displaystyle mathbb {P} (Lleqslant heta leqslant U)=p} .

Граничные точки доверительного интервала l {displaystyle l} и u {displaystyle u} называются доверительными пределами.

Вероятность, с которой в условиях данного эксперимента полученные экспериментальные данные можно считать надежными (достоверными), называют доверительной вероятностью или надежностью. Величина доверительной вероятности определяется характером производимых измерений. При выполнении учебных лабораторных работ в курсе общей физики доверительная вероятность обычно считается равной 95%.

Толкование доверительного интервала, основанное на интуиции, будет следующим: если уровень доверия p велик (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение θ {displaystyle heta } .

Еще одно истолкование понятия доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра θ {displaystyle heta } , совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

Более точное, хоть также не совсем строгое, толкование доверительного интервала с уровнем доверия, скажем, 95%, состоит в следующем. Если провести очень большое количество независимых экспериментов с аналогичным построением доверительного интервала, то в 95% экспериментов доверительный интервал будет содержать оцениваемый параметр θ {displaystyle heta } (то есть будет выполняться L ⩽ θ ⩽ U {displaystyle Lleqslant heta leqslant U} ), а в оставшихся 5% экспериментов доверительный интервал не будет содержать θ {displaystyle heta } .

Примеры

  • Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки.
  • Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.

Байесовский доверительный интервал

В байесовской статистике существует схожее, но отличающееся в некоторых ключевых деталях определение доверительного интервала. Здесь оцениваемый параметр θ {displaystyle heta } сам считается случайной величиной с некоторым заданным априорным распределением (в простейшем случае — равномерным), а выборка X {displaystyle X} фиксирована (в классической статистике всё в точности наоборот). Байесовский p {displaystyle p} -доверительный интервал — это интервал [ L , U ] {displaystyle [L,U]} , покрывающий значение параметра θ {displaystyle heta } с апостериорной вероятностью p {displaystyle p} :

P ( L ⩽ θ ⩽ U | X ) = p {displaystyle mathbb {P} (Lleqslant heta leqslant U|X)=p} .

Как правило, классический и байесовский доверительные интервалы различаются. В англоязычной литературе байесовский доверительный интервал принято называть термином credible interval, а классический — confidence interval.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: