Дистрибутивность

Дистрибутивность (от лат. distributivus «распределительный»), также распределительный закон — свойство согласованности ассоциативной и коммутативной операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что бинарная операция «×» является дистрибутивной относительно бинарной операции «+», если они удовлетворяют следующим двум тождествам:

( ∀ x , y , z ) x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ) {displaystyle (forall x,y,z),x imes (y+z)=(x imes y)+(x imes z)} — дистрибутивность слева; ( ∀ x , y , z ) ( y + z ) × x = ( y × x ) + ( z × x ) {displaystyle (forall x,y,z),(y+z) imes x=(y imes x)+(z imes x)} — дистрибутивность справа.

Если операция «×» является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа равносильны.

Мультипликативные операции в кольцах и полях относительно соответствующих аддитивных по определению удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности[уточнить], то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).

Следствия

Из дистрибутивного закона следует правило раскрытия скобок, перед которыми стоит минус. В этом случае знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

− ( x + y ) = − 1 ( x + y ) = − 1 x + ( − 1 ) y = − x + ( − y ) = − x − y {displaystyle -(x+y)=-1(x+y)=-1x+(-1)y=-x+(-y)=-x-y}

Аналогично,

− ( x − y ) = − x + y ; {displaystyle -(x-y)=-x+y;} − ( x + y + z ) = − x − y − z ; {displaystyle -(x+y+z)=-x-y-z;} − ( x + y − z ) = − x − y + z ; {displaystyle -(x+y-z)=-x-y+z;} − ( x − y + z ) = − x + y − z ; {displaystyle -(x-y+z)=-x+y-z;} − ( x − y − z ) = − x + y + z {displaystyle -(x-y-z)=-x+y+z}

Например,

− ( 2 − 6 + 17 ) = − 2 + 6 − 17 = − 13 {displaystyle -(2-6+17)=-2+6-17=-13}