Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Теорема Колмогорова — Арнольда

Дата: 3-05-2021, 16:00 » Раздел: Статьи  » 

Теорема Колмогорова — Арнольда — теорема из анализа действительного переменного и теории приближений, гласит, что каждая многомерная непрерывная функция может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной. Она решает в более общем виде тринадцатую проблему Гильберта.

Трудами Андрея Колмогорова и Арнольда установлено, что если f — это многомерная непрерывная функция, то f можно записать в виде конечной композиции непрерывных функций одной переменной и бинарной операции сложения. А именно,

f ( x ) = f ( x 1 , … , x n ) = ∑ q = 0 2 n Φ q ( ∑ p = 1 n ϕ q , p ( x p ) ) . {displaystyle f(mathbf {x} )=f(x_{1},ldots ,x_{n})=sum _{q=0}^{2n}Phi _{q}left(sum _{p=1}^{n}phi _{q,p}(x_{p}) ight).}

Построение доказательства, и даже более конкретные конструкции, можно найти в работе Брауна и Грибеля.

В каком-то смысле, Колмогоров и Арнольд показали, что единственная истинная функция многих переменных — это сложение, поскольку все другие функции можно записать с использованием функций одной переменной и сложения.

История

Теорема Колмогорова — Арнольда тесно связана с 13-й проблемой Гильберта. В его парижской лекции на Международном конгрессе математиков в 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики. В 13-й из этих проблем задача состояла в решении общих уравнений высших степеней. Известно, что для алгебраических уравнений степени 4 корни можно вычислить по формулам, которые содержат только радикалы и арифметические операции (то есть такие уравнения разрешимы в радикалах). Для более высоких порядков теория Галуа показывает, что решения алгебраических уравнений нельзя выразить в терминах базовых алгебраических операций. Из преобразований Чирнгауза следует, что общее алгебраическое уравнение

x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 = 0 {displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+dots +a_{0}=0}

можно перевести в форму y n + b n − 4 y n − 4 + ⋯ + b 1 y + 1 = 0 {displaystyle y^{n}+b_{n-4}y^{n-4}+dots +b_{1}y+1=0} . Преобразование Чирнгауза определяется по формуле, содержащей только радикалы и арифметические операции и преобразования. Таким образом, решение алгебраического уравнения степени n {displaystyle n} можно представить в виде суперпозиции функций двух переменных, если n < 7 {displaystyle n<7} , и как суперпозиции функций n − 4 {displaystyle n-4} переменных, если n ⩾ 7 {displaystyle ngeqslant 7} . Для n = 7 {displaystyle n=7} решение представляет собой суперпозицию арифметических операций, радикалы, и решения уравнения y 7 + b 3 y 3 + b 2 y 2 + b 1 y + 1 = 0 {displaystyle y^{7}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+1=0} .

Дальнейшее упрощение алгебраических преобразований, кажется, невозможно, что вело к гипотезе Гильберта, о том что «решение общего уравнения степени 7 нельзя представить в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных». Это объясняет отношение тринадцатой проблемы Гильберта к представлению многомерных функций в виде суперпозиции функций низкой размерности. В этом контексте, это стимулировало многочисленные исследования в области теории функций и других связанных проблем разными авторами.

Варианты теоремы Колмогорова — Арнольда

Вариант теоремы Колмогорова, который уменьшает количество внешних функции Φ q {displaystyle Phi _{q}} , принадлежит Джорджу Лоренцу. Он показал в 1962 году, что внешние функции Φ q {displaystyle Phi _{q}} можно заменить на одну функцию Φ {displaystyle Phi } . Точнее, Лоренц доказал существование функций ϕ q , p {displaystyle phi _{q,p}} , q = 0 , 1 , … , 2 n {displaystyle q=0,1,ldots ,2n} , p = 1 , … , n , {displaystyle p=1,ldots ,n,} таких, что

f ( x ) = ∑ q = 0 2 n Φ ( ∑ p = 1 n ϕ q , p ( x p ) ) . {displaystyle f(mathbf {x} )=sum _{q=0}^{2n}Phi left(sum _{p=1}^{n}phi _{q,p}(x_{p}) ight).}

Шпрехер заменил внутренние функции ϕ q , p {displaystyle phi _{q,p}} на одну внутреннюю функцию с соответствующим сдвигом в своих аргументах. Он доказал, что существуют действительные значения η , λ 1 , … , λ n {displaystyle eta ,lambda _{1},ldots ,lambda _{n}} , непрерывная функция Φ : R → R {displaystyle Phi colon mathbb {R} o mathbb {R} } и действительная возрастающая непрерывная функция ϕ : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] {displaystyle phi colon [0,1] o [0,1]} с ϕ ∈ Lip ⁡ ( ln ⁡ 2 / ln ⁡ ( 2 N + 2 ) ) {displaystyle phi in operatorname {Lip} {ig (}ln 2/ln(2N+2){ig )}} для N ⩾ n ⩾ 2 {displaystyle Ngeqslant ngeqslant 2} такие, что

f ( x ) = ∑ q = 0 2 n Φ ( ∑ p = 1 n λ p ϕ ( x p + η q ) + q ) . {displaystyle f(mathbf {x} )=sum _{q=0}^{2n}Phi left(sum _{p=1}^{n}lambda _{p}phi (x_{p}+eta q)+q ight).}

Филлип А. Остранд обобщил теорему Колмогорова на компактные метрические пространства. Для p = 1 , … , m {displaystyle p=1,ldots ,m} пусть X p {displaystyle X_{p}} — компактные метрические пространства конечной размерности n p {displaystyle n_{p}} , и пусть n = ∑ p = 1 m n p {displaystyle n=sum _{p=1}^{m}n_{p}} . Тогда существует непрерывная функция ϕ q , p : X p → [ 0 , 1 ] ,   q = 0 , … , 2 n ,   p = 1 , … , m {displaystyle phi _{q,p}colon X_{p} o [0,1], q=0,ldots ,2n, p=1,ldots ,m} и непрерывные функции G q : [ 0 , 1 ] → R ,   q = 0 , … , 2 n {displaystyle G_{q}colon [0,1] o mathbb {R} , q=0,ldots ,2n} такие, что любая непрерывная функция f : X 1 × ⋯ × X m → R {displaystyle fcolon X_{1} imes dots imes X_{m} o mathbb {R} } представима в виде

f ( x 1 , … , x m ) = ∑ q = 0 2 n G q ( ∑ p = 1 m ϕ q , p ( x p ) ) . {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{m})=sum _{q=0}^{2n}G_{q}left(sum _{p=1}^{m}phi _{q,p}(x_{p}) ight).}

Оригинальные ссылки

  • Андрей Колмогоров, «О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Известия АН СССР, 108 (1956), с. 179—182; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 17 (1961), p. 369—373.
  • Владимир Арнольд, «О функции трех переменных», Известия АН СССР, 114 (1957), p. 679—681; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 28 (1963), p. 51—54.

Дальнейшее чтение

  • S. Ya. Khavinson, Best Approximation by Linear Superpositions (Approximate Nomography), AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)

(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: