Простая группа

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Конечные простые группы полностью классифицированы в 1982.

В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.

В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли.

Примеры

Конечные простые группы

Циклическая группа G = Z / 5 Z {displaystyle G=mathbb {Z} /5mathbb {Z} } проста. Действительно, если H {displaystyle H} — подгруппа G {displaystyle G} , то порядок H {displaystyle H} по теореме Лагранжа должен делить порядок G {displaystyle G} , равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть H {displaystyle H} либо тривиальна, либо совпадает с G {displaystyle G} . Наоборот, группа Z / 12 Z {displaystyle mathbb {Z} /12mathbb {Z} } простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа Z {displaystyle mathbb {Z} } целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в Z {displaystyle mathbb {Z} } . Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.

Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — знакопеременная группа A 5 {displaystyle A_{5}} порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна A 5 {displaystyle A_{5}} . Более того, простыми являются все группы A n {displaystyle A_{n}} при n ⩾ 5 {displaystyle ngeqslant 5} . Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после A 5 {displaystyle A_{5}} — специальная проективная группа P S L ( 2 , 7 ) {displaystyle PSL(2,7)} порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна P S L ( 2 , 7 ) {displaystyle PSL(2,7)} .

Бесконечные простые группы

Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества X {displaystyle X} ; в частности, если множество X {displaystyle X} счётно, это бесконечная знакопеременная группа A ∞ {displaystyle A_{infty }} . Ещё одним семейством примером служат P S L n ( F ) {displaystyle PSL_{n}(mathbb {F} )} , где поле F {displaystyle mathbb {F} } бесконечно и n ⩾ 2 {displaystyle ngeqslant 2} .

Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.

Свойства

• Всякая группа вложима в простую группу.