Изогональная фигура
Изогональный или вершинно транзитивный многогранник — многогранник, все вершины которого эквивалентны. В частности все вершины окружены одним и тем же видом граней в том же самом (или обратном) порядке и с теми же самыми углами между соответствующими гранями. Термин также может быть применён к многоугольникам или замощениям и так далее.
Формально, мы говорим, что для любых двух вершин существует симметрия политопа, отображающая первую вершину изометрично во вторую. Другой путь сказать то же самое — что группа автоморфизмов политопа транзитивна на его вершинах, или что вершины лежат внутри одной орбиты симметрии.
Все вершины конечной n-мерной изогональной фигуры существуют на (n-1)-сфере.
Термин изогональный давно использовался в контексте многогранников. Термин вершинно транзитивный является синонимом, позаимствованным из современных идей групп симметрии и теории графов.
Четырёхскатный повернутый купол — не являющийся изогональным — демонстрирует, что утверждение «все вершины выглядят одинаковыми» не столь ограничительно, как определение, приведённое выше, которое вовлекает группу изометрий, сохраняющую многогранник или мозаику.
Изогональные многоугольники и бесконечноугольники
Все правильные многоугольники, бесконечноугольники и правильные звёздчатые многоугольники являются изогональными. Двойственная фигура для изогонального многоугольника — изотоксальный многоугольник.
Некоторые многоугольники с чётным числом сторон и бесконечноугольники, с попеременными двумя длинами сторон, например прямоугольник, являются изогональными.
Все плоские изогональные 2n-угольники имеют диэдральную симметрию (Dn, n=2,3,...) с осями симметрии через середины сторон.
Изогональные 3-мерные многогранники и 2D-мозаики
Изогональный многогранник (3D) и 2D-мозаика имеют единственный вид вершин. Изогональный многогранник с правильными гранями является также однородным многогранником и может быть представлен нотацией вершинной конфигурации, путём последовательного перечисления граней вокруг каждой вершины. Геометрически деформированные варианты однородных многогранников и мозаик могут также быть заданы вершинной конфигурацией.
Изогональные 3D-многогранники и 2D-мозаики можно классифицировать далее
- Правильный — если он также изоэдрален (транзитивен по граням) и изотоксален (рёберно транзитивен). Из этого следует, что все грани многогранника являются правильными многоугольниками одного вида.
- Квазиправильный — если он также изотоксален (рёберно транзитивен), но не изоэдрален (транзитивен по граням).
- Полуправильный — если любая грань является правильным многоугольником, но многогранник не изоэдрален (транзитивен по граням) или не изотоксален (рёберно транзитивен). (Определение полуправильного многогранника зависит от автора. Некоторые авторы исключают тела с диэдральной симметрией или невыпуклые тела.)
- Однородный — если любая грань является правильным многоугольником, т.е. многогранник правильный, семиправильный или полуправильный.
- Благородный — если он также изоэдрален (транзитивен по граням).
Размерность N(> 3) — изогональные многогранники и мозаики
Определения изогональных фигур могут быть распространены на многогранники более высоких размерностей и соты. В общем случае все однородные многогранники являются изогональными, например, однородные 4-мерные многогранники и выпуклые однородные соты.
Двойственный многогранник для изогонального многогранника является изотопическим, т.е. транзитивен по фасетам.
k-изогональные и k-однородные фигуры
Многогранник или соты называются k-изогональными, если его вершины образуют k классов транзитивности. Более ограничивающий термин, k-однородный определяется как k-изогональная фигура, состоящая только из правильных многоугольников. Они могут быть представлены визуально различными цветами однородной раскраски.
