Масштабирующая функция

В теории всплесков масштабирующей функцией называют функцию удовлетворяющую уравнению

φ ( x ) = 2 ∑ k ∈ Z h k φ ( 2 x + k ) . {displaystyle varphi (x)={sqrt {2}}sum limits _{kin mathbb {Z} }h_{k}varphi (2x+k).}

Это уравнение называют двухмасштабным соотношением или масштабирующим уравнением во временной области. Набор коэффициентов { h k } k ∈ Z {displaystyle {h_{k}}_{kin mathbb {Z} }} называется маской или фильтром.

Обозначив m 0 ( ξ ) = 1 2 ∑ k ∈ Z h k e 2 π i n ξ {displaystyle m_{0}(xi )={frac {1}{sqrt {2}}}sum limits _{kin mathbb {Z} }h_{k}e^{2pi inxi }} и применив преобразование Фурье к обеим частям масштабирующего уравнения получим

φ ^ ( ξ ) = m 0 ( ξ / 2 ) φ ^ ( ξ / 2 ) . {displaystyle {widehat {varphi }}(xi )=m_{0}(xi /2){widehat {varphi }}(xi /2).}

Это уравнение называют масштабирующим уравнением в частотной области.