Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Двойственная категория

Дата: 18-12-2020, 11:48 » Раздел: Статьи  » 

Двойственная категория (дуальная категория) — категория, построенная из заданной согласно теоретико-категорному принципу двойственности, то есть, для категории C {displaystyle {mathcal {C}}} двойственной является категория C o p {displaystyle {mathcal {C}}^{op}} с теми же объектами, что и C {displaystyle {mathcal {C}}} и с множествами морфизмов Hom C o p ( A , B ) = Hom C ( B , A ) {displaystyle { ext{Hom}}_{{mathcal {C}}^{op}}(A,B)={ ext{Hom}}_{mathcal {C}}(B,A)} («обращение стрелок»). Композиция морфизмов в f {displaystyle f} и g {displaystyle g} в категории C o p {displaystyle {mathcal {C}}^{op}} определяется как композиция g {displaystyle g} и f {displaystyle f} в C {displaystyle {mathcal {C}}} . Понятия и утверждения, относящиеся к категории C {displaystyle {mathcal {C}}} , заменяются двойственными понятиями и утверждениями в C o p {displaystyle {mathcal {C}}^{op}} . Применение двойственности дважды переводит категорию в себя.

Примеры

  • Категория булевых алгебр эквивалентна двойственной категории пространств Стоуна и непрерывных функций.
  • Категория аффинных схем эквивалентна двойственной категории коммутативных колец.
  • Двойственность Понтрягина можно ограничить на эквивалентность категории компактных хаусдорфовых абелевых топологических групп и двойственной категории (дискретных) абелевых групп.
  • Согласно теореме Гельфанда — Ноймарка категория локально измеримых пространств (и измеримых функций) эквивалентна двойственной категории коммутативных алгебр фон Неймана.

Свойства

  • ( C × D ) o p ≅ C o p × D o p {displaystyle ({mathcal {C}} imes {mathcal {D}})^{op}cong {mathcal {C}}^{op} imes {mathcal {D}}^{op}} (см. категория произведения)
  • ( F u n c t ( C , D ) ) o p ≅ F u n c t ( C o p , D o p ) {displaystyle (Funct({mathcal {C}},{mathcal {D}}))^{op}cong Funct({mathcal {C}}^{op},{mathcal {D}}^{op})} (см. категория функторов)
  • ( F ↓ G ) o p ≅ ( G o p ↓ F o p ) {displaystyle (Fdownarrow G)^{op}cong (G^{op}downarrow F^{op})} (см. категория запятой)

(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: