Параболическое уравнение

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

Определение

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции u : R n → R {displaystyle u:R^{n} ightarrow R} :

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j + ∑ k = 1 n b k ∂ u ∂ x k + c u = f ( x 1 , … , x n ) {displaystyle sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}a_{ij}{frac {partial ^{2}u}{partial x_{i}partial x_{j}}}+sum _{k=1}^{n}b_{k}{frac {partial u}{partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},ldots ,x_{n})}

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: a i j = a j i {displaystyle a_{ij}=a_{ji}} . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

( ∇ A ∇ T ) u + b ⋅ ∇ u + c u = f ( x 1 , … , x n ) {displaystyle left( abla A abla ^{T} ight)u+mathbf {b} cdot abla u+cu=f(x_{1},ldots ,x_{n})} ,

где A = A T {displaystyle A=A^{T}} .
Матрица A {displaystyle A} называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна ( n − 1 , 0 ) {displaystyle (n-1,0)} , то есть матрица A {displaystyle A} имеет одно собственное значение равное нулю и n − 1 {displaystyle n-1} собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу.
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде:

L u + a ∂ u ∂ t = f ( x 1 , … , x n − 1 , t ) {displaystyle Lu+a{frac {partial u}{partial t}}=f(x_{1},ldots ,x_{n-1},t)} ,

где: L {displaystyle L} — эллиптический оператор, a ≠ 0 {displaystyle a eq 0} .

Решение параболических уравнений

Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию.

• Для нахождения решений параболических уравнений, в том числе и абстрактных параболических уравнений, могут применяться методы теории полугрупп операторов.
• Для аналитического решения параболических уравнений в бесконечной области (задача Коши для параболического уравнения) используют специальную интегральную формулу.
• Для аналитического решения параболических уравнений в конечной области может применяться метод разделения переменных Фурье.
• Для численного решения параболических уравнений используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объёмов, а также их комбинации и другие численные методы, подходящие под решаемую задачу.

Принцип максимума

Для параболического уравнения вида:

− a 2 Δ u + ∂ t u = 0   ( x 1 , … x n − 1 ) ∈ Ω {displaystyle -a^{2}Delta u+partial _{t}u=0 (x_{1},ldots ,x_{n-1})in Omega }

Решение u ( x 1 , … , x n − 1 , t ) {displaystyle u(x_{1},ldots ,x_{n-1},t)} принимает своё максимальное значение либо при t = 0 {displaystyle t=0} , либо на границе области Ω {displaystyle Omega } .

Примеры параболических уравнений

• Уравнения описывающие процессы конвекции и диффузии, в том числе уравнение диффузии и его частный случай — уравнение теплопроводности.
• Система уравнений Навье-Стокса, описывающее движение жидкости и газов является системой параболических уравнений с дивергентными ограничениями.
• Для некоторых типов сред из уравнений Максвелла можно получить параболические уравнения относительно векторов A {displaystyle mathbf {A} } или E {displaystyle mathbf {E} } .