Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Целое алгебраическое число

Дата: 18-12-2020, 01:00 » Раздел: Статьи  » 

Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и, в частности, вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо Ω {displaystyle Omega } . Очевидно, Ω {displaystyle Omega } является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа.

Пусть u {displaystyle u} — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо Z [ u ] {displaystyle mathbb {Z} [u]} , порождённое добавлением u {displaystyle u} к кольцу обычных целых чисел Z {displaystyle mathbb {Z} } . Оно образовано всевозможными значениями f ( u ) {displaystyle f(u)} , где f ( z ) {displaystyle f(z)} — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число u {displaystyle u} является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда Z [ u ] {displaystyle mathbb {Z} [u]} — конечнопорождённая абелева группа.

Примеры целых алгебраических чисел

  • Гауссовы целые числа.
  • Корни из единицы — корни многочлена x n − 1 {displaystyle x^{n}-1} над полем комплексных чисел.

Свойства

  • Все рациональные числа, входящие в Ω {displaystyle Omega } , являются целыми числами. Другими словами, ни одна несократимая дробь m / n {displaystyle m/n} со знаменателем, большим единицы, целым алгебраическим числом быть не может.
  • Для каждого алгебраического числа u {displaystyle u} существует натуральное число n {displaystyle n} такое, что n u {displaystyle nu} — целое алгебраическое число.
  • Корень любой степени из целого алгебраического числа тоже является целым алгебраическим числом.

История

Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке Гаусс, Якоби, Дедекинд, Куммер и другие. Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители. Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида a + b − 5 {displaystyle a+b{sqrt {-5}}} имеют место 2 разложения:

6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 + − 5 ) ⋅ ( 1 − − 5 ) {displaystyle 6=2cdot 3=(1+{sqrt {-5}})cdot (1-{sqrt {-5}})} ,

причём в обоих случаях все множители — простые, то есть неразложимы в этом подкольце.

Исследование этой проблемы привело к открытию важных понятий идеала и простого идеала, в структуре которых разложение на простые множители стало возможным определить однозначно.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: