Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Факториальное кольцо

Дата: 17-12-2020, 20:56 » Раздел: Статьи  » 

Факториальное кольцо — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1  ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

Определение

Более формально, факториальное кольцо определяется как область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент x можно записать в виде произведения (пустого произведения, если x обратим) неприводимых элементов pi и обратимого элемента u:

x = up1 p2 ⋯ pn

и это разложение единственно в следующем смысле: Если q1, … , qm — неприводимые элементы R и w — обратимый элемент, такие что

x = wq1 q2 ⋯ qm ,

то m = n и существует биективное отображение φ : {1, … , n} → {1, … , m} такое что pi — элемент, ассоциированный с qφ(i) для i ∈ {1, … , n}.

Примеры

  • Все евклидовы кольца, в частности, кольцо целых чисел (см. основная теорема арифметики) и кольцо гауссовых целых чисел. См. статьи Факторизация целых чисел и Факторизация гауссовых чисел.
  • Если R факториально, то и кольцо многочленов R[x] факториально, отсюда следует, что и кольцо R[x1, … , xn] факториально.
  • Теорема Аусландера — Буксбаума: каждое регулярное локальное кольцо является факториальным.
  • Кольцо формальных степенных рядов над областью главных идеалов является факториальным.
  • Пусть R — поле характеристики не 2. Клейн и Нагата показали, что R[x1, … , xn]/Q факториально, если Q — невырожденная квадратичная форма и n не меньше пяти.
  • Локализация факториального кольца факториальна. Более того, подходящей локализацией и из нефакториального кольца можно получить факториальное кольцо. Например, кольцо Z [ − 3 ] {displaystyle mathbb {mathbb {Z} } [{sqrt {-3}}]} не факториально (т.к. ( 1 + − 3 ) ⋅ ( 1 − − 3 ) = 4 = 2 ⋅ 2 {displaystyle (1+{sqrt {-3}})cdot (1-{sqrt {-3}})=4=2cdot 2} ), а его локализация Z [ − 3 , 1 / 2 ] {displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-3}},1/2]} факториальна.

Эквивалентные формулировки

Пусть A — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:

  • A факториально.
  • Каждый ненулевой простой идеал A содержит простой элемент (то есть такой элемент, что главный идеал, порожденный этим элементом, прост).
  • A — кольцо Крулля, в котором каждый дивизорный идеал главный (так определяется факториальное кольцо у Бурбаки).
  • A — кольцо Крулля и каждый простой идеал, не содержащий других ненулевых простых идеалов, главный.

Свойства факториальных колец

1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.

2. Лемма о совместной делимости. Если элемент N {displaystyle N} факториального кольца делится на каждый из элементов a 1 {displaystyle a_{1}} , a 2 {displaystyle a_{2}} , … , a k {displaystyle a_{k}} , причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда N {displaystyle N} делится на их произведение.

3. Если N n = a 1 a 2 … a k {displaystyle N^{n}=a_{1}a_{2}dots a_{k}} , причём элементы a 1 , a 2 , . . . , a k {displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{k}} попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид a i = u i b i n {displaystyle a_{i}=u_{i}b_{i}^{n}} , где u i {displaystyle u_{i}} — обратимые элементы кольца.

4. Любую дробь a / b {displaystyle a/b} , составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы p {displaystyle p} и q {displaystyle q} (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что a / b = p / q {displaystyle a/b=p/q} .

5. Теорема Гаусса. Если дробь a / b {displaystyle a/b} является корнем многочлена x n + c 1 x n − 1 + ⋯ + c n {displaystyle x^{n}+c_{1}x^{n-1}+dots +c_{n}} со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы a , b {displaystyle a,b} , а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца R {displaystyle R} ), тогда a / b {displaystyle a/b} лежит в R {displaystyle R} , то есть a {displaystyle a} делится на b {displaystyle b} в кольце R {displaystyle R} . (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью).


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: