Меандр (математика)

Меандр или замкнутый меандр — это замкнутая кривая без самопересечений, которая пересекает прямую несколько раз. Интуитивно, меандр можно рассматривать как дорогу, пересекающую реку мостами в нескольких местах.

Меандр

Если задана ориентированная прямая L на плоскости R2, меандр порядка n — это замкнутая кривая без самопересечений на R2, которая поперечно пересекает прямую в 2n точках для некоторого положительного n. Прямая и кривая вместе образуют меандровую систему. Говорят, что два меандра эквивалентны, если существует гомеоморфизм всей плоскости, которая переводит L в себя, а один меандр в другой.

Пример

Меандр порядка 1 пересекает прямую дважды:

Меандровые числа

Число различных меандров порядка n называется меандровым числом Mn. Первые пятнадцать меандровых чисел (последовательность A005315 в OEIS).

M1 = 1 M2 = 2 M3 = 8 M4 = 42 M5 = 262 M6 = 1828 M7 = 13820 M8 = 110954 M9 = 933458 M10 = 8152860 M11 = 73424650 M12 = 678390116 M13 = 6405031050 M14 = 61606881612 M15 = 602188541928

Меандровые перестановки

Меандровая перестановка порядка n задаётся на множестве {1, 2, …, 2n} и определяется меандровой системой следующим образом:

• Для прямой, ориентированной слева направо, каждое пересечение меандра последовательно помечаются целыми числами, начиная с 1.
• Кривая с точки пересечения, помеченной 1, ориентируется вверх.
• Циклическая перестановка без фиксированных точек получается проходом ориентированной кривой через помеченные точки.

На диаграмме справа меандрическая перестановка порядка 4 задаётся перестановкой (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка, записанная в циклической нотации, её не следует путать с линейной нотацией.

Если π является меандровой перестановкой, то π2 состоит из двух циклов, одна содержит все чётные элементы, другая — все нечётные. Перестановки с такими свойствами называется чередующимися перестановками (не путать с чередующимися в смысле возрастания-убывания). Однако не все чередующиеся перестановки являются меандровыми, поскольку кривые для некоторых перестановок нельзя нарисовать без самопересечений. Например, чередующаяся перестановка порядка 3 (1 4 3 6 5 2) меандровой не является.

Открытый меандр

Если задана фиксированная ориентированная прямая L на плоскости R2, открытый меандр порядка n — это ориентированная кривая без самопересечений на R2, которая пересекает прямую в n точках для некоторого положительного целого числа n. Говорят, что два открытых меандра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Примеры

Открытый меандр порядка 1 пересекает прямую один раз:

Открытый меандр порядка 2 пересекает прямую дважды:

Открытые меандровы числа

Число различных открытых меандров порядка n называется открытым меандровым числом mn. Первые пятнадцать открытых меандровых чисел (последовательность A005316 в OEIS).

m1 = 1 m2 = 1 m3 = 2 m4 = 3 m5 = 8 m6 = 14 m7 = 42 m8 = 81 m9 = 262 m10 = 538 m11 = 1828 m12 = 3926 m13 = 13820 m14 = 30694 m15 = 110954

Полумеандр

Если дан ориентированный луч R на плоскости R2, полумеандр порядка n — — это непересекающаяся кривая в R2, которая пересекает луч в n точках для некоторого положительного n. Говорят, что два полумендра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Примеры

Полумеандр порядка два пересекает луч дважды:

Полумеандровые числа

Количество различных полумеандровых чисел порядка n называется полумеандровым числом Mn (обычно обозначается надчёркиванием, а не подчёркиванием). Первые пятнадцать полумеандровых чисел (последовательность A000682 в OEIS).

M1 = 1 M2 = 1 M3 = 2 M4 = 4 M5 = 10 M6 = 24 M7 = 66 M8 = 174 M9 = 504 M10 = 1406 M11 = 4210 M12 = 12198 M13 = 37378 M14 = 111278 M15 = 346846

Свойства меандровых чисел

Существует инъекция из меандровых чисел в открытые меандровые числа:

Mn = m2n−1

Любое меандровое число может быть ограничены полумеандровыми числами:

Mn ≤ Mn ≤ M2n

Для n > 1 меандрические числа чётны:

Mn ≡ 0 (mod 2)