Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Метрика пространства-времени

Дата: 14-12-2020, 11:53 » Раздел: Статьи  » 

Метрика пространства-времени — 4-тензор, который определяет свойства пространства-времени в общей теории относительности.

Как правило, обозначается символом g i j {displaystyle g_{ij}} .

В инерциальной системе отсчёта матрица метрического тензора пространства-времени имеет вид

g ^ = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {displaystyle {hat {g}}=left({egin{matrix}1&0&0&0&-1&0&0&0&-1&0&0&0&-1end{matrix}} ight)} .

В неинерциальных системах отсчёта вид метрики пространства-времени изменяется и в общем зависит от точки пространства и момента времени.

Метрика пространства-времени задаёт искривление пространства, которое ощущает наблюдатель, который движется с ускорением. Так как, исходя из принципа эквивалентности, наблюдатель никаким образом не может отличить неинерционность связанной с ним системы отсчёта от гравитационного поля, метрика пространства-времени определяет также искривление пространства в поле массивных тел.

Пространственно-временной интервал выражается через метрику пространства-времени формулой

d s 2 = g i j d x i d x j {displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}} .

Так как метрика задаёт превращения координат, то её называют также метрическим тензором.

Метрика пространства-времени используется для установления связи между ковариантными и контравариантными записями любого 4-вектора

A i = g i j A j {displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j}} .

Свойства

Метрический тензор симметричный относительно своих индексов, то есть g i j = g j i {displaystyle g_{ij}=g_{ji}} . Это видно из общей формулы для квадрата дифференциала пространственно-временного интервала. Детерминант метрики пространства-времени, который обозначается через g, отрицательный.

Контравариантная форма метрического тензора связана с ковариантной с помощью полностью антисимметрического тензора четвёртого порядка

E i j k l = 1 − g e i j k l {displaystyle E^{ijkl}={frac {1}{sqrt {-g}}}e^{ijkl}} ,

где e i j k l {displaystyle e^{ijkl}} — обычный полностью антисимметрический тензор, определённый в инерционной системе отсчёта, то есть тензор, компоненты которого равны 1 или -1 и меняют знак при перестановке каких-либо двух индексов.

Таким образом

g i j = 1 − g e i j k l g k l {displaystyle g^{ij}={frac {1}{sqrt {-g}}}e^{ijkl}g_{kl}}

Метрический тензор, как и какой-либо симметрический тензор, возможно выбором системы отсчёта свести к диагональному виду. Однако эта операция справедлива только к определённой точке пространства-времени и, в общем случае, не может быть проведена для всего пространства-времени.

Собственное время

Квадрат дифференциала пространственно-временного интервала для одной пространственной точки равен

d s 2 = g 00 ( d x 0 ) 2 = c 2 d τ 2 {displaystyle ds^{2}=g_{00}(dx^{0})^{2}=c^{2}d au ^{2}} ,

где с — скорость света в вакууме.

Величину

τ = 1 c ∫ g 00 d x 0 {displaystyle au ={frac {1}{c}}int {sqrt {g_{00}}}dx^{0}}

называют собственным временем для данной точки пространства.

Пространственный интервал

Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками задаётся формулой

d l 2 = γ α β d x α d x β = ( − g α β + g α 0 g 0 β g 00 ) d x α d x β {displaystyle dl^{2}=gamma _{alpha eta }dx^{alpha }dx^{eta }=left(-g_{alpha eta }+{frac {g_{alpha 0}g_{0eta }}{g_{00}}} ight)dx^{alpha }dx^{eta }}

Греческие индексы используются тогда, когда суммирование ведётся лишь по пространственным координатам. Тензор γ α β {displaystyle gamma _{alpha eta }} есть метрический тензор для трёхмерного пространства.

Интегрировать определённое таким образом расстояние нельзя, так как результат зависел бы от мировой линии, по которой бы велось интегрирование. Таким образом, в общей теории относительности понятия расстояния между далёкими объектами в трёхмерном пространстве теряет смысл. Единственное исключение — ситуация, в которой метрический тензор g i j {displaystyle g_{ij}} не зависит от времени.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: