Точечная оценка
Точечная оценка в математической статистике — это число, оцениваемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.
Определение
Пусть X 1 , … , X n , … {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n},ldots } — случайная выборка для распределения, зависящего от параметра θ ∈ Θ {displaystyle heta in Theta } . Тогда статистику θ ^ ( X 1 , … , X n ) {displaystyle {hat { heta }}(X_{1},ldots ,X_{n})} , принимающую значения в Θ {displaystyle displaystyle Theta } , называют точечной оценкой параметра θ {displaystyle heta } .
Замечание
Формально статистика θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра θ {displaystyle heta } . Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.
Свойства точечных оценок
- Оценка θ ^ = θ ^ ( X ) {displaystyle {hat { heta }}={hat { heta }}(X)} называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:
- Оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.
- Оценка θ ^ n = θ ^ n ( X 1 , … , X n ) {displaystyle {hat { heta }}_{n}={hat { heta }}_{n}(X_{1},dots ,X_{n})} называется состоятельной, если она с увеличением объема выборки n стремится по вероятности к параметру генеральной совокупности: ∀ θ ∈ Θ {displaystyle forall heta in Theta } ,
- Оценка θ ^ n {displaystyle {hat { heta }}_{n}} называется сильно состоятельной, если ∀ θ ∈ Θ {displaystyle forall heta in Theta } ,
Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.