Гекзакисоктаэдр

Гекзакисоктаэдр (от др.-греч. ἑξάκις — «шестижды», οκτώ — «восемь» и ἕδρα — «грань»), также называемый дисдакисдодекаэдром (от др.-греч. δίς — «дважды», δυάκις — «два раза», δώδεκα — «двенадцать» и ἕδρα — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоусечённому кубооктаэдру.

Составлен из 48 одинаковых разносторонних остроугольных треугольников с углами arccos 1 + 6 2 12 ≈ 37 , 77 ∘ , {displaystyle arccos ,{frac {1+6{sqrt {2}}}{12}}approx 37{,}77^{circ },} arccos 6 − 2 8 ≈ 55 , 02 ∘ {displaystyle arccos ,{frac {6-{sqrt {2}}}{8}}approx 55{,}02^{circ }} и arccos 2 − 2 12 ≈ 87 , 20 ∘ . {displaystyle arccos ,{frac {2-{sqrt {2}}}{12}}approx 87{,}20^{circ }.}

Имеет 26 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 8 граней, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся своими средними по величине углами по 6 граней, в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины кубооктаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 4 грани.

У гекзакисоктаэдра 72 ребра — 24 «длинных» (расположенных так же, как рёбра ромбододекаэдра), 24 «средних» и 24 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos ⁡ ( − 71 + 12 2 97 ) ≈ 155 , 08 ∘ . {displaystyle arccos left(-{frac {71+12{sqrt {2}}}{97}} ight)approx 155{,}08^{circ }.}

Гекзакисоктаэдр можно получить из ромбододекаэдра, приложив к каждой грани того неправильную четырёхугольную пирамиду с ромбическим основанием, равным грани ромбододекаэдра, и высотой, которая в 2 1 7 ( 26 + 32 2 ) ≈ 6 , 38 {displaystyle 2{sqrt {{frac {1}{7}}left(26+32{sqrt {2}} ight)}}approx 6{,}38} раз меньше стороны основания.

Гекзакисоктаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра гекзакисоктаэдра имеют длину a {displaystyle a} , то его «средние» рёбра имеют длину 3 14 22 + 12 2 a ≈ 1 , 34 a , {displaystyle {frac {3}{14}}{sqrt {22+12{sqrt {2}}}};aapprox 1{,}34a,} а «длинные» рёбра — длину 1 7 102 + 20 2 a ≈ 1 , 63 a . {displaystyle {frac {1}{7}}{sqrt {102+20{sqrt {2}}}};aapprox 1{,}63a.}

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

S = 6 7 783 + 436 2 a 2 ≈ 32,066 7340 a 2 , {displaystyle S={frac {6}{7}}{sqrt {783+436{sqrt {2}}}};a^{2}approx 32{,}0667340a^{2},} V = 1 7 3 ( 2194 + 1513 2 ) a 3 ≈ 16,288 9191 a 3 . {displaystyle V={frac {1}{7}}{sqrt {3left(2194+1513{sqrt {2}} ight)}};a^{3}approx 16{,}2889191a^{3}.}

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

r = 1 2 1 97 ( 498 + 285 2 ) a ≈ 1,523 9081 a , {displaystyle r={frac {1}{2}}{sqrt {{frac {1}{97}}left(498+285{sqrt {2}} ight)}};aapprox 1{,}5239081a,}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

ρ = 1 4 22 + 12 2 a ≈ 1,560 6602 a . {displaystyle ho ={frac {1}{4}}{sqrt {22+12{sqrt {2}}}};aapprox 1{,}5606602a.}

Описать около гекзакисоктаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.